物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 出ns到nr范围内每个折射率值对应的模场分布函 分布进行归一化处理得到，即令E3(x)和Eex(x)满 数及其导数，解出满足模式本征方程的折射率值， 足 虽然具有清晰的物理意义，但是其导出模场分布函 E()Pdz=1. (17) 数及其导数的算法涉及大量的矩阵相乘，而且模场 震荡区和衰减区的转移矩阵是不同的，因此其运算 归一化后的模场分布如图3所示. 较为复杂。 图3表明，当有效折射率非常精准时，本文提 对强非对称的折射率分布而言，利用改进的变 出的模场构建方法能够导出精准的模场分布，相比 分法计算更加简便.但是改进的变分法不适用于 其他构建方法更加简单 分析对称折射率分布的波导，因为对称折射率分布 的波导，奇数阶的传播常数的平方B2不是标准型 +-E(x) ·Ex(x） Sturm-Liouville方程的本征值，因此变分法仅能够 计算偶数阶的有效折射率，利用修正的模式本征方 程来计算对称折射率分布的波导更加方便」 3.2模场分布 为了形象地展示改进的变分法提高有效折射 1 234 56 率精度的过程，我们考虑V=2且折射率分布为高 0 有效深度/m 斯函数的基模，令(2)式中的常系数A1=5,导出变 图3V=4且折射率分布为指数函数时的归一化电场强 分运算过程中得出的b:以及相应模场分布E:(x), 度的精确分布Ex(x)和本文方法构建的模场分布E3(:) 结果如图2所示。 Fig.3.Exact distributions of the normalized elec tric field intensity Eex(r)and E3(r)calculated by our 1 method for exponential index profile at V=4. bWKB =0.0451,EwEB() b1=0.0513,E1(x) -b2=0.0608,E2(x) 4讨 论 -b3=0.0719,E3(x） b4=0.0796,E4(x) bs=0.0816,E(x） 对改进的变分法而言，其准确性主要取决于离 b6=0.0817,E6(x) 散间距△x的大小、积分区间和模式的阶数等.当 积分区间足够大时，计算的精度主要取决于离散 间距△x的值，离散间距越小，可求解的精度越高 例如，仿真表明，对V=8且折射率分布为指数函 0 2 3 4 5 数的基模，当离散间距△x=1×10-5时，计算出 有效深度/m 的最高精度的传播常数为0.522768，而当离散间距 图2（网刊彩色）当V三2且折射率分布为高斯函数时 △x=2×10-6时，最高精度的结果为0.522766，而 利用改进的变分法计算出的归一化传播常数：以及导出 的E(c)分布曲线 精确值为0.522766，离散间距小的结果更加准确： Fig.2.(color online)Distributions of the electric field 对支持多个模式的渐变折射率分布的波导而言，积 intensity Ei(x)decided by bi from improved varia- 分区间的大小主要取决于模场分布的范围，模式 tional method for Gaussian profile at V=2. 的阶数越高、模场分布的范围越广、相应的积分区 图2表明，改进的变分法的本质是不断通过导 间越大；同时模式的阶数越高，bwKB越接近精确 出越来越精准的近似模场分布来修正传播常数，最 值，离散间距△x对计算精度的影响也越小.例如， 终得出足够精准的结果.为了证明该方法能够导出 当离散间距△x=1×10-5时，基模计算出的最高 准确的模场分布，考虑V=4且折射率分布为指数 精度的传播常数为0.522768，和精确值0.522766相 函数的基模，进行3次变分运算的计算结果b3和精 比，有较小的差别，但是对一阶以上的模式，最高精 确值bex一致，绘出E3(x)和(10)式确定的精确分 度的计算结果和精确值一致，说明对相同的离散间 布Eex(x),表达式中的常系数A1和A3通过将模场 距，高阶模式有更精确的计算结果 144205-5 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 出ns 到nf 范围内每个折射率值对应的模场分布函 数及其导数, 解出满足模式本征方程的折射率值, 虽然具有清晰的物理意义, 但是其导出模场分布函 数及其导数的算法涉及大量的矩阵相乘, 而且模场 震荡区和衰减区的转移矩阵是不同的, 因此其运算 较为复杂. 对强非对称的折射率分布而言, 利用改进的变 分法计算更加简便. 但是改进的变分法不适用于 分析对称折射率分布的波导, 因为对称折射率分布 的波导, 奇数阶的传播常数的平方β 2 不是标准型 Sturm-Liouville方程的本征值, 因此变分法仅能够 计算偶数阶的有效折射率, 利用修正的模式本征方 程来计算对称折射率分布的波导更加方便. 3.2 模场分布 为了形象地展示改进的变分法提高有效折射 率精度的过程, 我们考虑V = 2且折射率分布为高 斯函数的基模, 令(2)式中的常系数A1 = 5, 导出变 分运算过程中得出的bi 以及相应模场分布Ei (x), 结果如图 2 所示. 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 ႃڤूए/VSm-1 ద஍ງए/mm bWKB=0.0451, EWEB(x) b1=0.0513, E1(x) b2=0.0608, E2(x) b3=0.0719, E3(x) b4=0.0796, E4(x) b5=0.0816, E5(x) b6=0.0817, E6(x) 图 2 (网刊彩色) 当 V = 2 且折射率分布为高斯函数时 利用改进的变分法计算出的归一化传播常数 bi 以及导出 的 Ei(x) 分布曲线 Fig. 2. (color online) Distributions of the electric field intensity Ei(x) decided by bi from improved varia￾tional method for Gaussian profile at V = 2. 图2 表明, 改进的变分法的本质是不断通过导 出越来越精准的近似模场分布来修正传播常数, 最 终得出足够精准的结果. 为了证明该方法能够导出 准确的模场分布, 考虑V = 4且折射率分布为指数 函数的基模, 进行3次变分运算的计算结果b3 和精 确值bex 一致, 绘出E3 (x)和(10)式确定的精确分 布Eex(x), 表达式中的常系数A1 和A3 通过将模场 分布进行归一化处理得到, 即令E3(x)和Eex(x)满 足 ∫ ∞ −∞ |E (x)| 2 dx = 1. (17) 归一化后的模场分布如图3 所示. 图3 表明, 当有效折射率非常精准时, 本文提 出的模场构建方法能够导出精准的模场分布, 相比 其他构建方法更加简单. 0 0 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 ႃڤूए/10-5 VSm-1 ద஍ງए/mm E3(x) Eex(x) 图 3 V = 4 且折射率分布为指数函数时的归一化电场强 度的精确分布 Eex(x) 和本文方法构建的模场分布 E3(x) Fig. 3. Exact distributions of the normalized elec￾tric field intensity Eex(x) and E3(x) calculated by our method for exponential index profile at V = 4. 4 讨 论 对改进的变分法而言, 其准确性主要取决于离 散间距∆x的大小、积分区间和模式的阶数等. 当 积分区间足够大时, 计算的精度主要取决于离散 间距∆x的值, 离散间距越小, 可求解的精度越高. 例如,仿真表明, 对V = 8且折射率分布为指数函 数的基模, 当离散间距∆x = 1 × 10−5 时, 计算出 的最高精度的传播常数为0.522768, 而当离散间距 ∆x = 2 × 10−6 时, 最高精度的结果为0.522766, 而 精确值为0.522766, 离散间距小的结果更加准确; 对支持多个模式的渐变折射率分布的波导而言, 积 分区间的大小主要取决于模场分布的范围, 模式 的阶数越高、模场分布的范围越广、相应的积分区 间越大; 同时模式的阶数越高, bWKB 越接近精确 值, 离散间距∆x对计算精度的影响也越小. 例如, 当离散间距∆x = 1 × 10−5 时, 基模计算出的最高 精度的传播常数为0.522768, 和精确值0.522766相 比, 有较小的差别, 但是对一阶以上的模式, 最高精 度的计算结果和精确值一致, 说明对相同的离散间 距, 高阶模式有更精确的计算结果. 144205-5