《光波导理论与技术 Optical Waveguides Principles and Technologies》课程教学资源（参考文献）一种简单精准的渐变折射率分布光波导分析方法

物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 一种简单精准的渐变折射率分布光波导分析方法* 张梦若陈开鑫 (电子科技大学通信与信息工程学院，光纤通信与传感教有部重点实验室，成都611731) (2015年1月27日收到：2015年2月25日收到修改稿) 渐变折射率分布的光波导分析对光波导器件的设计和研究至关重要，近年来已提出了多种分析方法，然 而在简便性或准确性上都存在着不足.为此，提出了一种分析渐变折射率分布光波导的方法，能够结合现有 的Wentzel-Kramers-Brillouin近似法和离散化的波动方程，构建模场分布，再结合变分运算方程和修正的模 式本征方程，计算出较为精确的有效折射率。与其他分析方法相比，该方法较为简单，而且有一定的精度： 关键词：渐变折射率分布，光波导，Wentzel-Kramers-Brillouin近似法，变分法 PACS:42.82.Et,03.65.Ge,03.65.Sq D0:10.7498/aps.64.144205 用了复杂的艾里函数来表示，不方便分析计算，且 1引言 其计算的有效折射率精度有限；WKB近似法的模 场表达式仅在距离转折点较远的折射率变化缓慢 以扩散技术和退火质子交换技术等制作的光 部分是准确的，在转折点处是发散的20]，其导出 波导器件有着广泛的应用，例如基于铌酸锂光波导 的模式本征方程忽略了散射子波的相位贡献且用 的电光调制器、光开关冈、通信码型转换间、量 转折点处的折射率代替转折点外的折射率[2，因 子保密通信[闺以及基于玻璃波导Y分支光功率分 此WKB近似法仅适用于折射率分布变化缓慢的情 配器同等.这些器件的共同特点是其折射率分布 况；改进的WKB近似法能够提高一定精度但仍然 为渐变分布，研究光在渐变折射率分布光波导中的 有限；转移传输矩阵法和差分传输矩阵法将渐变折 传输，对光波导器件的设计和分析至关重要.常用 射率分布的光波导等效成足够多的平板波导，利用 的渐变折射率分布光波导分析方法包括数值方法 转移矩阵理论导出模场分布和准确度高的模式本 和解析方法.数值方法包括有限元法、有限差分法 征方程，但是其算法涉及大量矩阵相乘，仍然较为 等[6-】，这些方法可以将波导中光波的传输和模场 复杂；级数展开法或谱分析法将模场分布函数展 分布直观地展示出来，但是需要复杂的数学建模过 开成傅里叶级数等，在频域求解传播常数和模场分 程，且不能反映其物理过程；解析方法包括光线近 布，但是其系数展开过程较为复杂.因此，一种简 似法、艾里函数分析法9,10、变分法[1,12，Wentzel-- 单精准的渐变折射率分布的光波导分析方法的提 Kramers-Brillouin(WKB)近似法[13,14以及改进 出有着明显的意义 的WKB近似法[5,1，WKB近似法结合艾里函数 本文在WKB近似法的基础上，结合离散化的 分析法[1门、转移传输矩阵法[8-21、差分传输矩阵 波动方程、变分法和修正的模式本征方程，提出一 法[22,2以及级数展开法或谱分析法等24-2).光 种非常简单实用的渐变折射率分布平板波导的分 线近似法可以给出模式本征方程，但无法给出模 析方法.该方法能够利用WKB近似法衰减区的模 场分布；艾里函数法、变分法以及WKB近似法结 场表达式，构建整个区域的模场分布，并利用模场 合艾里函数分析法的模场分布和模式本征方程使 分布获得较为精准的有效折射率计算结果」 *国家自然科学基金（批准号：61177054）资助的课题 t通信作者.E-mail:chenkx@uestc.cdu.cm ©2015中国物理学会Chinese Physical Society http://wulixb.iphy.ac.cn 144205-1 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 一种简单精准的渐变折射率分布光波导分析方法∗ 张梦若 陈开鑫† (电子科技大学通信与信息工程学院, 光纤通信与传感教育部重点实验室, 成都 611731) ( 2015 年 1 月 27 日收到; 2015 年 2 月 25 日收到修改稿 ) 渐变折射率分布的光波导分析对光波导器件的设计和研究至关重要, 近年来已提出了多种分析方法, 然 而在简便性或准确性上都存在着不足. 为此, 提出了一种分析渐变折射率分布光波导的方法, 能够结合现有 的Wentzel-Kramers-Brillouin 近似法和离散化的波动方程, 构建模场分布, 再结合变分运算方程和修正的模 式本征方程, 计算出较为精确的有效折射率. 与其他分析方法相比, 该方法较为简单, 而且有一定的精度. 关键词: 渐变折射率分布, 光波导, Wentzel-Kramers-Brillouin 近似法, 变分法 PACS: 42.82.Et, 03.65.Ge, 03.65.Sq DOI: 10.7498/aps.64.144205 1 引 言 以扩散技术和退火质子交换技术等制作的光 波导器件有着广泛的应用, 例如基于铌酸锂光波导 的电光调制器 [1]、光开关 [2]、通信码型转换[3]、量 子保密通信 [4] 以及基于玻璃波导Y 分支光功率分 配器 [5] 等. 这些器件的共同特点是其折射率分布 为渐变分布, 研究光在渐变折射率分布光波导中的 传输, 对光波导器件的设计和分析至关重要. 常用 的渐变折射率分布光波导分析方法包括数值方法 和解析方法. 数值方法包括有限元法、有限差分法 等[6−8] , 这些方法可以将波导中光波的传输和模场 分布直观地展示出来, 但是需要复杂的数学建模过 程, 且不能反映其物理过程; 解析方法包括光线近 似法、艾里函数分析法[9,10]、变分法[11,12] , Wentzel￾Kramers-Brillouin (WKB) 近似法[13,14] 以及改进 的WKB近似法 [15,16] , WKB近似法结合艾里函数 分析法 [17]、转移传输矩阵法 [18−21]、差分传输矩阵 法[22,23] 以及级数展开法或谱分析法等[24−27] . 光 线近似法可以给出模式本征方程, 但无法给出模 场分布; 艾里函数法、变分法以及WKB近似法结 合艾里函数分析法的模场分布和模式本征方程使 用了复杂的艾里函数来表示, 不方便分析计算, 且 其计算的有效折射率精度有限; WKB近似法的模 场表达式仅在距离转折点较远的折射率变化缓慢 部分是准确的, 在转折点处是发散的 [20] , 其导出 的模式本征方程忽略了散射子波的相位贡献且用 转折点处的折射率代替转折点外的折射率 [21] , 因 此WKB近似法仅适用于折射率分布变化缓慢的情 况; 改进的WKB近似法能够提高一定精度但仍然 有限; 转移传输矩阵法和差分传输矩阵法将渐变折 射率分布的光波导等效成足够多的平板波导, 利用 转移矩阵理论导出模场分布和准确度高的模式本 征方程, 但是其算法涉及大量矩阵相乘, 仍然较为 复杂; 级数展开法或谱分析法将模场分布函数展 开成傅里叶级数等, 在频域求解传播常数和模场分 布, 但是其系数展开过程较为复杂. 因此, 一种简 单精准的渐变折射率分布的光波导分析方法的提 出有着明显的意义. 本文在WKB近似法的基础上, 结合离散化的 波动方程、变分法和修正的模式本征方程, 提出一 种非常简单实用的渐变折射率分布平板波导的分 析方法. 该方法能够利用WKB近似法衰减区的模 场表达式, 构建整个区域的模场分布, 并利用模场 分布获得较为精准的有效折射率计算结果. ∗ 国家自然科学基金 (批准号: 61177054) 资助的课题. † 通信作者. E-mail: chenkx@uestc.edu.cn © 2015 中国物理学会 Chinese Physical Society http://wulixb.iphy.ac.cn 144205-1

物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 E()-E(x-△x) 2理论推导 △x =k号(N-n2(c)E(x), (4) 平板波导的标量波动方程为 dE（四+品(m2(e)-Na)E()=0,( 其中x,i=0,1,2,…为离散化以后的各个模场 dx2 值的坐标，△x为离散间距.整理后得 其中，N:为模式的有效折射率，ko=2T/o为真 E(x+△x)=(△x)2k号(N-n2(x)E(x) 空中的波矢，o为真空中的光波长，n(x)为折射率 的分布函数，E(x)为电场强度的分布函数.以强 +2E(x)-E(x-△x),(5) 非对称的渐变折射率分布波导为例，折射率分布如 E(x:-△x)=(△x)2k(N2-n2(x)E(x) 图1所示. +2E(x)-E(r+△x).(6) n(r) (⑤)式说明，如果有效折射率N:和折射率分布 n(x)已知，x=x:+△x处的模场值可以通过 x=x:-△x和x=x处的模场值推导得出；(6)式 说明x=x一△x的模场值可以通过x=x十△x 和x=x;处的模场值推导得出.设xa和xa-△x no. d 为距转折点较远的折射率变化缓慢位置处的相 邻的两点，即满足x:>>xt,WKB近似法计算 图1强非对称的渐变折射率分布 出的有效折射率为NwKB,如果令NwKB=Vef, Fig.1.Step-asymmetrical graded refractive index profile. 利用WKB近似法导出的衰减区模场表达式（②） 图1中n,n和no分别为折射率的最大值、基 求解模场值Ew(z)和Ew(xa-△x),然后反复 底折射率和外部折射率，d为有效扩散深度，即折 利用(6)式，就可以导出整个区域的模场分布 射率增量下降为最大值的1/e时的深度】 EwKB(x),i=0,1,2,,其中下标WKB表 WKB近似法求解平板波导的波动方程，衰减 示利用NwKB作为有效折射率代入公式后导出的 区的模场表达式2]为 相应的模场分布.在x=0处，根据电磁场连续的 Ew(x)= exp It; 边界条件，可以令x<0区域的模场表达式(3)的 (2) 常系数为A2=EwKB(ro) 仿真表明，该方法建立的模场分布其准确性 而x<0区域的模场分布的表达式为 严重依赖于代入的有效折射率Ner的准确程度， Eo(x)=A2 exp <0 有效折射率越接近精确值，导出的模场分布越准 确.而WKB近似法计算出的有效折射率NwKB和 (3) 精确值相比存在一定误差，因此导出的模场分布 其中A1和A2为常系数：p(x)=(N-n(x) EwKB(x),i=0,1,2,·,仅是一个近似准确的 B为传播常数；xt为转折点的坐标，由方程 模场分布.但是可以利用近似分布，结合变分法、修 kon(x)-B=0决定.从(2)式可以看出，由于 正的模式本征方程等方法解出较为精准的有效折 模场表达式包络部分的分母为√p(工)，在转折点 射率， xt处满足p(x)=0,所以模场表达式在转折点处 为极值点，其模场分布在转折点处是发散的，但是 3建模分析 距转折点较远的折射率缓变的位置，其模场分布是 准确的20 3.1 有效折射率的精确计算 将平板波导的标量波导方程(1)进行离散化， 变分法是一种实用的提高有效折射率的计 离散化的波动方程为 1 「E(x+△x)-E(c) 算精度的方法，其原理为当标准型Sturm-Liouville △x △x 方程满足如下条件时 144205-2 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 2 理论推导 平板波导的标量波动方程为 dE (x) dx 2 + k 2 0 ( n 2 (x) − N 2 eff) E (x) = 0, (1) 其中, Neff 为模式的有效折射率, k0 = 2π/λ0 为真 空中的波矢, λ0 为真空中的光波长, n (x)为折射率 的分布函数, E (x)为电场强度的分布函数. 以强 非对称的渐变折射率分布波导为例, 折射率分布如 图1 所示. nf ns n0 d x n↼x↽ 图 1 强非对称的渐变折射率分布 Fig. 1. Step-asymmetrical graded refractive index profile. 图1 中nf , ns 和n0 分别为折射率的最大值、基 底折射率和外部折射率, d为有效扩散深度, 即折 射率增量下降为最大值的1/e时的深度. WKB近似法求解平板波导的波动方程, 衰减 区的模场表达式[28] 为 Ew (x) = √ A1 p (x) exp [ − ∫ x xt p (x)dx ] x > xt, (2) 而x > xt, WKB近似法计算 出的有效折射率为NWKB, 如果令NWKB = Neff, 利用WKB近似法导出的衰减区模场表达式(2) 求解模场值Ew (xd) 和Ew (xd − ∆x), 然后反复 利用 (6)式, 就可以导出整个区域的模场分布 EWKB (xi), i = 0, 1, 2, · · · , 其中下标WKB表 示利用NWKB 作为有效折射率代入公式后导出的 相应的模场分布. 在x = 0处, 根据电磁场连续的 边界条件, 可以令x < 0 区域的模场表达式(3)的 常系数为A2 = EWKB(x0). 仿真表明, 该方法建立的模场分布其准确性 严重依赖于代入的有效折射率Neff 的准确程度, 有效折射率越接近精确值, 导出的模场分布越准 确. 而WKB近似法计算出的有效折射率NWKB 和 精确值相比存在一定误差, 因此导出的模场分布 EWKB (xi), i = 0, 1, 2, · · · , 仅是一个近似准确的 模场分布. 但是可以利用近似分布, 结合变分法、修 正的模式本征方程等方法解出较为精准的有效折 射率. 3 建模分析 3.1 有效折射率的精确计算 变分法 [11] 是一种实用的提高有效折射率的计 算精度的方法, 其原理为当标准型Sturm-Liouville 方程满足如下条件时 144205-2

物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 d 其中ns=2.1770,n-n2=0.1870,λ0= dzdr +[Q+λ亚=0， 0.6328μm,0=1.0000,归一化频率V和归一 叫=1=0,1z=2=02>1, (7) 化传播常数定义为b=(N-n)/(n喔-n): 其本征值入可以用下式计算： V=k号d2(n-n),离散间距△x=2×10-6.仅 +T2 d亚 考虑TE模式，利用WKB近似法计算出归一化传 播常数bwKB,利用(6)式导出近似分布EwKB(x), 2 (8) 利用变分运算得到新的传播常数b1,再用b1导出相 Rv2dr 应场分布E(x),再计算出b2和E2(x),依次类推， 如果令P=1,R=-1,Q=号n2(x),入=2 求出b和E:(x) 亚=E(x)就得到标量波动方程(1)，当x1和x2绝 折射率分布为指数函数形式的精确求解方法 对值足够大时，模场值接近于零，因此进行变分 由Conwel29分析给出，其模场分布的表达式为 运算时，不需要在无穷的范围内积分，导函数可以 Eex(X) 利用地-E）-E:-△求得 (A3J (2V exp(-X/2)] X>0, dx △x J2V] (10) Popescu等利用该方法时，采用了艾里函数 A4 exp[V(b+B)] X0 n2(x)=n2+(n-n)exp(-x2/d)x>0, n2(x)=ng E<0: n2(x)=n哈 x<0. (9) (12) 144205-3 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 d dx [ P dΨ dx ] + [Q + λR] Ψ = 0, Ψ|x=x1 = 0, Ψ|x=x2 = 0 x2 > x1, (7) 其本征值λ可以用下式计算: λ = ∫ x2 x1 ( P dΨ dx − QΨ) dx ∫ x2 x1 RΨ 2dx . (8) 如果令P = 1, R = −1, Q = k 2 0n 2 (x), λ = β 2 , Ψ = E (x) 就得到标量波动方程(1), 当x1 和x2 绝 对值足够大时, 模场值接近于零, 因此进行变分 运算时, 不需要在无穷的范围内积分, 导函数可以 利用 dΨ dx = [E (xi) − E (xi − ∆x)] ∆x 求得. Popescu等利用该方法时, 采用了艾里函数 法[9] 计算出的模场分布和归一化传播常数, 计算 过程中, 其模场分布和本征方程都采用了艾里函 数的形式, 求解过程复杂, 而且精度有限. 分析指 出[12] , 变分法计算的精度严重依赖于代入的Ψ 函 数的准确程度. 而本文提出的模场构建方法, 结 合传统的变分法形成一种改进的变分法, 能够根 据不同的折射率, 导出相应的模场分布, 循环利用 变分运算和模场推导, 不断提高精度. 因此可以 从WKB近似法计算的折射率NWKB 和导出的模 场分布EWKB(x)出发, 利用变分运算得到新的有 效折射率N1, 进而导出模场分布E1(x), 然后再次 重复上述步骤, 得到新的有效折射率N2 和模场分 布E2(x), 依次类推, 导出Ni 和Ei(x), 不断计算出 精度更高的有效折射率, 其中下表i = 1, 2, · · · 表 示利用NWKB 和EWKB (x) 作为初始值和初始模 场分布进行第i次变分运算和模场推导后得到的结 果. 由于每次计算都使用了相同的公式和算法, 多 次运算并不影响该方法的简便性, 选择NWKB 作为 初始值是由于WKB近似法导出的模式本征方程形 式简单、容易计算. 为了证明该方法的准确性, 我们采用和传统变 分法相同的参数 [11] , 折射率分布为指数函数, 表 达式为    n 2 (x) = n 2 s + ( n 2 f − n 2 s ) exp (−x/d) x > 0, n 2 (x) = n 2 0 x 0, A4 exp[V (b + B) 1 2 X] X 0, n 2 (x) = n 2 0 x < 0, (12) 144205-3

物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 表1折射率分布为指数函数的归一化传播常数的精确值bx,WKB近似法的计算结果wKB、传统变分法的计算 结果6和改进的变分法的计算结果b:的比较 Table 1.Comparison of exact normalized propagation constant bex,bwkB from WKB method,b from traditional variational method and bi from improved variational method for exponential index profiles. bex 0 bWKB b1 b b3 0 0.522766 0.522766 0.525793 0.522261 0.522756 0.522766 8 0.259566 0.259566 0.260299 0.259520 0.259566 0.259566 8 0.113811 0.113811 0.114092 0.113799 0.113811 0.113811 8 0.035123 0.035122 0.035237 0.035119 0.035123 0.035123 4 0.002728 0.002727 0.002755 0.002727 0.002727 0.002727 4 0.321164 0.321164 0.324912 0.320633 0.321153 0.321164 4 1 0.053966 0.053966 0.054561 0.053928 0.053966 0.053966 1.2 0 0.003823 0.003852 0.005105 0.003534 0.003827 0.003823 余差互补函数的折射率分布表达式为 表3折射率分布为余差互补函数的归一化传播常数的精 确值bex,WKB近似法的计算结果wKB和改进的变分 n2(x)=n2+(ni-n2)erfc(x/d) x>0, 法的计算结果b:的比较 n2(x)=no x<0. Table 3.Comparison of exact normalized propagation constant bex,bWKB from WKB method and bi from (13) improved variational method for Complementary Er- 选取的参数不变，计算结果如表2和表3所列. ror index profiles. 通过表2和表3的结果可得，当V越小，折射率分 bex bWKB bi 布变化越快，WKB近似法的计算结果的误差越大， 3.0 0.0675 0.0574 b3=0.0675 就需要利用较多次数的变分运算来提高精度.例如 对V=2.0且折射率分布为高斯函数的基模，6次 4.0 0.1694 0.1650 b=0.1694 变分运算的结果bs才与精确值bx一致；相反，当 除了变分法外，还可以利用修正的模式本征方 V越大，折射率分布变化越缓慢，WKB近似法的结 程来计算出精准的有效折射率.修正的模式本征方 果越接近精确值，只需要较少次数的变分运算，例 程可以通过转移传输矩阵法导出[8，强非对称渐 如对V=4.0且折射率分布为高斯函数的基模，一 变折射率分布的平板波导的本征方程为 次变分运算的结果b1与精确值bex一致.这个结果 也验证了WKB近似法仅适用于折射率分布缓慢变 k(x)dx+ g(x) k2(x)+q2(x) 化的情况的结论。 (m+2 n-arctan (N tr -n3) (n-Natt)' (14) 表2折射率分布为高斯函数的归一化传播常数的精确值 bx,WKB近似法的计算结果bwKB和改进的变分法的 计算结果b:的比较 对称折射率分布的平板波导，本征方程为[18] Table 2.Comparison of exact normalized propagation k(x)dz+ q(z) -dx constant bex,bwkB from WKB method and b;from 工+1 2(x)+q2(x improved variational method for Gaussian index pro- files. =(m+1)r, (15) 其中，k(x)=[n2(c)-B2]立，q()满足方程 bex bWKB bi 2.0 0.0817 0.0451 b6=0.0817 dg=2(e)+q2() (16) dx 3.0 0.2750 0.2741 b1=0.2750 该方程的解为q(x)=-E(x)/E(x).转移传输矩 4.0 0.4133 0.4124 b1=0.4133 阵法的本质是将渐变折射率波导等效成足够多的 多层平板波导，求出每层平板波导的传输矩阵，导 144205-4 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 表 1 折射率分布为指数函数的归一化传播常数的精确值 bex, WKB 近似法的计算结果 bWKB、传统变分法的计算 结果 bv 和改进的变分法的计算结果 bi 的比较 Table 1. Comparison of exact normalized propagation constant bex, bWKB from WKB method, bv from traditional variational method and bi from improved variational method for exponential index profiles. V m bex bv bWKB b1 b2 b3 8 0 0.522766 0.522766 0.525793 0.522261 0.522756 0.522766 8 1 0.259566 0.259566 0.260299 0.259520 0.259566 0.259566 8 2 0.113811 0.113811 0.114092 0.113799 0.113811 0.113811 8 3 0.035123 0.035122 0.035237 0.035119 0.035123 0.035123 8 4 0.002728 0.002727 0.002755 0.002727 0.002727 0.002727 4 0 0.321164 0.321164 0.324912 0.320633 0.321153 0.321164 4 1 0.053966 0.053966 0.054561 0.053928 0.053966 0.053966 1.2 0 0.003823 0.003852 0.005105 0.003534 0.003827 0.003823 余差互补函数的折射率分布表达式为    n 2 (x) = n 2 s + ( n 2 1 − n 2 s ) erfc(x/d) x > 0, n 2 (x) = n 2 0 x < 0. (13) 选取的参数不变, 计算结果如表 2和表 3所列. 通过表 2和表 3的结果可得, 当V 越小, 折射率分 布变化越快, WKB近似法的计算结果的误差越大, 就需要利用较多次数的变分运算来提高精度. 例如 对V = 2.0且折射率分布为高斯函数的基模, 6 次 变分运算的结果b6 才与精确值bex 一致; 相反, 当 V 越大, 折射率分布变化越缓慢, WKB近似法的结 果越接近精确值, 只需要较少次数的变分运算, 例 如对V = 4.0且折射率分布为高斯函数的基模, 一 次变分运算的结果b1 与精确值bex 一致. 这个结果 也验证了WKB近似法仅适用于折射率分布缓慢变 化的情况的结论. 表 2 折射率分布为高斯函数的归一化传播常数的精确值 bex, WKB 近似法的计算结果 bWKB 和改进的变分法的 计算结果 bi 的比较 Table 2. Comparison of exact normalized propagation constant bex, bWKB from WKB method and bi from improved variational method for Gaussian index pro- files. V bex bWKB bi 2.0 0.0817 0.0451 b6 = 0.0817 3.0 0.2750 0.2741 b1 = 0.2750 4.0 0.4133 0.4124 b1 = 0.4133 表 3 折射率分布为余差互补函数的归一化传播常数的精 确值 bex, WKB 近似法的计算结果 bWKB 和改进的变分 法的计算结果 bi 的比较 Table 3. Comparison of exact normalized propagation constant bex, bWKB from WKB method and bi from improved variational method for Complementary Er￾ror index profiles. V bex bWKB bi 3.0 0.0675 0.0574 b3 = 0.0675 4.0 0.1694 0.1650 b2 = 0.1694 除了变分法外, 还可以利用修正的模式本征方 程来计算出精准的有效折射率. 修正的模式本征方 程可以通过转移传输矩阵法导出 [18] , 强非对称渐 变折射率分布的平板波导的本征方程为 ∫ xt 0 κ (x) dx + ∫ xt 0 q (x) κ 2 (x) + q 2 (x) dx = ( m + 1 2 ) π − arctan√( N2 eff − n 2 0 ) ( n 2 f − N2 eff) , (14) 对称折射率分布的平板波导, 本征方程为 [18] ∫ xt2 xt1 κ (x) dx + ∫ xt2 xt1 q (x) κ 2 (x) + q 2 (x) dx = (m + 1) π, (15) 其中, κ (x) = [ k 2 0n 2 (x) − β 2 ] 1 2 , q (x)满足方程 dq (x) dx = κ 2 (x) + q 2 (x). (16) 该方程的解为q (x) = −E′ (x)/E (x). 转移传输矩 阵法的本质是将渐变折射率波导等效成足够多的 多层平板波导, 求出每层平板波导的传输矩阵, 导 144205-4

物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 出ns到nr范围内每个折射率值对应的模场分布函 分布进行归一化处理得到，即令E3(x)和Eex(x)满 数及其导数，解出满足模式本征方程的折射率值， 足 虽然具有清晰的物理意义，但是其导出模场分布函 E()Pdz=1. (17) 数及其导数的算法涉及大量的矩阵相乘，而且模场 震荡区和衰减区的转移矩阵是不同的，因此其运算 归一化后的模场分布如图3所示. 较为复杂。 图3表明，当有效折射率非常精准时，本文提 对强非对称的折射率分布而言，利用改进的变 出的模场构建方法能够导出精准的模场分布，相比 分法计算更加简便.但是改进的变分法不适用于 其他构建方法更加简单 分析对称折射率分布的波导，因为对称折射率分布 的波导，奇数阶的传播常数的平方B2不是标准型 +-E(x) ·Ex(x） Sturm-Liouville方程的本征值，因此变分法仅能够 计算偶数阶的有效折射率，利用修正的模式本征方 程来计算对称折射率分布的波导更加方便」 3.2模场分布 为了形象地展示改进的变分法提高有效折射 1 234 56 率精度的过程，我们考虑V=2且折射率分布为高 0 有效深度/m 斯函数的基模，令(2)式中的常系数A1=5,导出变 图3V=4且折射率分布为指数函数时的归一化电场强 分运算过程中得出的b:以及相应模场分布E:(x), 度的精确分布Ex(x)和本文方法构建的模场分布E3(:) 结果如图2所示。 Fig.3.Exact distributions of the normalized elec tric field intensity Eex(r)and E3(r)calculated by our 1 method for exponential index profile at V=4. bWKB =0.0451,EwEB() b1=0.0513,E1(x) -b2=0.0608,E2(x) 4讨 论 -b3=0.0719,E3(x） b4=0.0796,E4(x) bs=0.0816,E(x） 对改进的变分法而言，其准确性主要取决于离 b6=0.0817,E6(x) 散间距△x的大小、积分区间和模式的阶数等.当 积分区间足够大时，计算的精度主要取决于离散 间距△x的值，离散间距越小，可求解的精度越高 例如，仿真表明，对V=8且折射率分布为指数函 0 2 3 4 5 数的基模，当离散间距△x=1×10-5时，计算出 有效深度/m 的最高精度的传播常数为0.522768，而当离散间距 图2（网刊彩色）当V三2且折射率分布为高斯函数时 △x=2×10-6时，最高精度的结果为0.522766，而 利用改进的变分法计算出的归一化传播常数：以及导出 的E(c)分布曲线 精确值为0.522766，离散间距小的结果更加准确： Fig.2.(color online)Distributions of the electric field 对支持多个模式的渐变折射率分布的波导而言，积 intensity Ei(x)decided by bi from improved varia- 分区间的大小主要取决于模场分布的范围，模式 tional method for Gaussian profile at V=2. 的阶数越高、模场分布的范围越广、相应的积分区 图2表明，改进的变分法的本质是不断通过导 间越大；同时模式的阶数越高，bwKB越接近精确 出越来越精准的近似模场分布来修正传播常数，最 值，离散间距△x对计算精度的影响也越小.例如， 终得出足够精准的结果.为了证明该方法能够导出 当离散间距△x=1×10-5时，基模计算出的最高 准确的模场分布，考虑V=4且折射率分布为指数 精度的传播常数为0.522768，和精确值0.522766相 函数的基模，进行3次变分运算的计算结果b3和精 比，有较小的差别，但是对一阶以上的模式，最高精 确值bex一致，绘出E3(x)和(10)式确定的精确分 度的计算结果和精确值一致，说明对相同的离散间 布Eex(x),表达式中的常系数A1和A3通过将模场 距，高阶模式有更精确的计算结果 144205-5 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 出ns 到nf 范围内每个折射率值对应的模场分布函 数及其导数, 解出满足模式本征方程的折射率值, 虽然具有清晰的物理意义, 但是其导出模场分布函 数及其导数的算法涉及大量的矩阵相乘, 而且模场 震荡区和衰减区的转移矩阵是不同的, 因此其运算 较为复杂. 对强非对称的折射率分布而言, 利用改进的变 分法计算更加简便. 但是改进的变分法不适用于 分析对称折射率分布的波导, 因为对称折射率分布 的波导, 奇数阶的传播常数的平方β 2 不是标准型 Sturm-Liouville方程的本征值, 因此变分法仅能够 计算偶数阶的有效折射率, 利用修正的模式本征方 程来计算对称折射率分布的波导更加方便. 3.2 模场分布 为了形象地展示改进的变分法提高有效折射 率精度的过程, 我们考虑V = 2且折射率分布为高 斯函数的基模, 令(2)式中的常系数A1 = 5, 导出变 分运算过程中得出的bi 以及相应模场分布Ei (x), 结果如图 2 所示. 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 ႃڤूए/VSm-1 ద஍ງए/mm bWKB=0.0451, EWEB(x) b1=0.0513, E1(x) b2=0.0608, E2(x) b3=0.0719, E3(x) b4=0.0796, E4(x) b5=0.0816, E5(x) b6=0.0817, E6(x) 图 2 (网刊彩色) 当 V = 2 且折射率分布为高斯函数时 利用改进的变分法计算出的归一化传播常数 bi 以及导出 的 Ei(x) 分布曲线 Fig. 2. (color online) Distributions of the electric field intensity Ei(x) decided by bi from improved varia￾tional method for Gaussian profile at V = 2. 图2 表明, 改进的变分法的本质是不断通过导 出越来越精准的近似模场分布来修正传播常数, 最 终得出足够精准的结果. 为了证明该方法能够导出 准确的模场分布, 考虑V = 4且折射率分布为指数 函数的基模, 进行3次变分运算的计算结果b3 和精 确值bex 一致, 绘出E3 (x)和(10)式确定的精确分 布Eex(x), 表达式中的常系数A1 和A3 通过将模场 分布进行归一化处理得到, 即令E3(x)和Eex(x)满 足 ∫ ∞ −∞ |E (x)| 2 dx = 1. (17) 归一化后的模场分布如图3 所示. 图3 表明, 当有效折射率非常精准时, 本文提 出的模场构建方法能够导出精准的模场分布, 相比 其他构建方法更加简单. 0 0 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 ႃڤूए/10-5 VSm-1 ద஍ງए/mm E3(x) Eex(x) 图 3 V = 4 且折射率分布为指数函数时的归一化电场强 度的精确分布 Eex(x) 和本文方法构建的模场分布 E3(x) Fig. 3. Exact distributions of the normalized elec￾tric field intensity Eex(x) and E3(x) calculated by our method for exponential index profile at V = 4. 4 讨 论 对改进的变分法而言, 其准确性主要取决于离 散间距∆x的大小、积分区间和模式的阶数等. 当 积分区间足够大时, 计算的精度主要取决于离散 间距∆x的值, 离散间距越小, 可求解的精度越高. 例如,仿真表明, 对V = 8且折射率分布为指数函 数的基模, 当离散间距∆x = 1 × 10−5 时, 计算出 的最高精度的传播常数为0.522768, 而当离散间距 ∆x = 2 × 10−6 时, 最高精度的结果为0.522766, 而 精确值为0.522766, 离散间距小的结果更加准确; 对支持多个模式的渐变折射率分布的波导而言, 积 分区间的大小主要取决于模场分布的范围, 模式 的阶数越高、模场分布的范围越广、相应的积分区 间越大; 同时模式的阶数越高, bWKB 越接近精确 值, 离散间距∆x对计算精度的影响也越小. 例如, 当离散间距∆x = 1 × 10−5 时, 基模计算出的最高 精度的传播常数为0.522768, 和精确值0.522766相 比, 有较小的差别, 但是对一阶以上的模式, 最高精 度的计算结果和精确值一致, 说明对相同的离散间 距, 高阶模式有更精确的计算结果. 144205-5

物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 如果利用修正的模式本征方程求解有效折射 [8]Shao G W,Jin G L 2009 Chin.Phys.B18 1096 率，积分区间为转折点坐标范围内，模式的阶数 9]Goyal I C,Gallawa R L.Ghatak A K 1991 Opt.Lett. 1630 越高，积分区间越大，计算精度主要取决于离散 [10]Goyal I C,Jindal R,Ghatak A K 1997 IEEE J.Light- 间距△x. wave Technol.15 2179 [11]Popescu V A 2004 Opt.Commun.234 177 5结论 [12]Popescu V A 2006 Phys.Lett.A 349 220 [13]Gedeon A 1974 Opt.Commun.12 329 提出了一种渐变折射率分布光波导的分析方 [14]Janta J,Ctyroky J 1978 Opt.Commun.25 49 [15]Feng X,Gar L Y 1994 IEEE J.Lightwave Technol.12 法，能够利用WKB近似法导出衰减区的模场表达 443 式：结合离散化的波动方程，构建模场分布：利用构 [16]Srivastava R,Kao C,Ramaswamy R V 1987 IEEE J. 建的模场分布，结合变分法、修正的模式本征方程， Ligthtwave Technol.5 1605 计算得出足够精准的有效折射率.与其他分析方法 [17]Chung MS,Kim C M2000 IEEE J.Ligthtwave Technol. 18878 相比，本文提出的方法不仅简单，而且有一定的计 [18]Cao Z Q,Jiang Y,Shen Q S,Dou X M,Chen Y L 1999 算精度 J.Opt.Soc.Am.A 16 2209 [19]Zhan L,Cao Z Q 1998 J.Opt.Soc.Am.A 15 713 [20]Zhu H D,Ding Y.Cao Z Q,Shen Q S 2005 Chin.Phys. 参考文献 Lett.221580 [21]Cao X Q,Liu Q,Jiang Y,Shen Q S,Dou X M 2001 J. [1]Howerton MM,Moeller R P,Greenblatt A S,Krahen- Opt.Soc.Am.A 18 2161 buhl R 2000 IEEE Photon.Technol.Lett.12 792 [22]Eghlidi M H,Mehrany K,Rashidian B 2005 J.Opt.Soc. [2]Xue T,Yu J,Yang T X,Ni W J,LiS C 2002 Acta Phys. Am.B221521 Sim.511521(in Chinese)[薛挺，于建，杨天新，倪文俊，李 [23]Zariean N,Sarrafi P,Mehrany K,Rashidian B 2008 世忱2002物理学报511521] IEEE J.Quantum Electron.44 324 [3]Wang D L,Sun J Q,Wang J 2008 Acta Phys.Sin.57 [24]Henry C H,Verbeek B H 1989 IEEE J.Ligthtwave Tech- 252(in Chinese)[汪大林，孙军强，王健2008物理学报57 nol.7308 252] [4]Wei Z J,Wan W,Wang J D,Liao C J,Liu S H 2011 [25]Wang L,Huang N 1999 IEEE J.Quantum Electron.35 Acta Phys.Sin.60094216(in Chinese)[魏正军，万伟， 1351 王金东，廖常俊，刘颂豪2011物理学报60094216 [26]Ghasemifard F,Shahabadi M 2011 J.Opt.13 125703 [5]Camy P,Roman J E,Willems F W,Hempstead M,van [27]Gric T,Cada M 2015 J.Electromagn.Wave Appl.29 der Plaats J C.Prel C.Beguin A,Koonen A MJ.Wilkin- 124 son J S.Lerminiaux C 1996 IEEE Electron.Lett.32 321 [28]Cao Z Q 2007 Wave Guiding Optics (Beijing:Science [6]Koshiba M,Suzuki M 1982 IEEE Electron.Lett.18 579 Press)p61(in Chinese)[曹庄琪2007导波光学（北京：科 [7]Lagu R,Ramaswamy R 1986 IEEE J.Quantum Elec- 学出版社)第61页] tom.22968 [29]Conwell E 1973 Appl.Phys.Lett.23 328 144205-6 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 如果利用修正的模式本征方程求解有效折射 率, 积分区间为转折点坐标范围内, 模式的阶数 越高, 积分区间越大, 计算精度主要取决于离散 间距 ∆x. 5 结 论 提出了一种渐变折射率分布光波导的分析方 法, 能够利用WKB近似法导出衰减区的模场表达 式; 结合离散化的波动方程, 构建模场分布; 利用构 建的模场分布, 结合变分法、修正的模式本征方程, 计算得出足够精准的有效折射率. 与其他分析方法 相比, 本文提出的方法不仅简单, 而且有一定的计 算精度. 参考文献 [1] Howerton M M, Moeller R P, Greenblatt A S, Krahen￾buhl R 2000 IEEE Photon. Technol. Lett. 12 792 [2] Xue T, Yu J, Yang T X, Ni W J, Li S C 2002 Acta Phys. Sin. 51 1521 (in Chinese) [薛挺, 于建, 杨天新, 倪文俊, 李 世忱 2002 物理学报 51 1521] [3] Wang D L, Sun J Q, Wang J 2008 Acta Phys. Sin. 57 252 (in Chinese) [汪大林, 孙军强, 王健 2008 物理学报 57 252] [4] Wei Z J, Wan W, Wang J D, Liao C J, Liu S H 2011 Acta Phys. Sin. 60 094216 (in Chinese) [魏正军, 万伟, 王金东, 廖常俊, 刘颂豪 2011 物理学报 60 094216] [5] Camy P, Román J E, Willems F W, Hempstead M, van der Plaats J C, Prel C, Béguin A, Koonen A M J, Wilkin￾son J S, Lerminiaux C 1996 IEEE Electron. Lett. 32 321 [6] Koshiba M, Suzuki M 1982 IEEE Electron. Lett. 18 579 [7] Lagu R, Ramaswamy R 1986 IEEE J. Quantum Elec￾tron. 22 968 [8] Shao G W, Jin G L 2009 Chin. Phys. B 18 1096 [9] Goyal I C, Gallawa R L, Ghatak A K 1991 Opt. Lett. 16 30 [10] Goyal I C, Jindal R, Ghatak A K 1997 IEEE J. Light￾wave Technol. 15 2179 [11] Popescu V A 2004 Opt. Commun. 234 177 [12] Popescu V A 2006 Phys. Lett. A 349 220 [13] Gedeon A 1974 Opt. Commun. 12 329 [14] Janta J, Čtyroký J 1978 Opt. Commun. 25 49 [15] Feng X, Gar L Y 1994 IEEE J. Lightwave Technol. 12 443 [16] Srivastava R, Kao C, Ramaswamy R V 1987 IEEE J. Ligthtwave Technol. 5 1605 [17] Chung M S, Kim C M 2000 IEEE J. Ligthtwave Technol. 18 878 [18] Cao Z Q, Jiang Y, Shen Q S, Dou X M, Chen Y L 1999 J. Opt. Soc. Am. A 16 2209 [19] Zhan L, Cao Z Q 1998 J. Opt. Soc. Am. A 15 713 [20] Zhu H D, Ding Y, Cao Z Q, Shen Q S 2005 Chin. Phys. Lett. 22 1580 [21] Cao X Q, Liu Q, Jiang Y, Shen Q S, Dou X M 2001 J. Opt. Soc. Am. A 18 2161 [22] Eghlidi M H, Mehrany K, Rashidian B 2005 J. Opt. Soc. Am. B 22 1521 [23] Zariean N, Sarrafi P, Mehrany K, Rashidian B 2008 IEEE J. Quantum Electron. 44 324 [24] Henry C H, Verbeek B H 1989 IEEE J. Ligthtwave Tech￾nol. 7 308 [25] Wang L, Huang N 1999 IEEE J. Quantum Electron. 35 1351 [26] Ghasemifard F, Shahabadi M 2011 J. Opt. 13 125703 [27] Gric T, Cada M 2015 J. Electromagn. Wave Appl. 29 124 [28] Cao Z Q 2007 Wave Guiding Optics (Beijing: Science Press) p61 (in Chinese) [曹庄琪 2007 导波光学 (北京: 科 学出版社) 第 61 页] [29] Conwell E 1973 Appl. Phys. Lett. 23 328 144205-6

物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 A simple and exact method to analyze optical waveguide with graded index profile* Zhang Meng-Ruo Chen Kai-Xint (Key Laboratory of Optical Fiber Sensing And Communication Ministry of Education,School of Communication and Information Engineering,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 611731,China) Received 27 January 2015;revised manuscript received 25 February 2015 Abstract A simple analytical method is proposed to obtain the exact propagation constants and distributions of electric field intensity of optical waveguides with graded refractive index profile.The method is based on the Wenzel-Kramers- Brillouin (WKB)solution,variational method,modified eigen-equations and discretized scalar wave equation for planar optical waveguide.The expressions of the distribution of electric field intensity based on the conventional WKB method, which diverge around the turning point,have been demonstrated to be very exact in the region beyond the turning point where the refractive index profile varies slowly.The proposed method uses the conventional WKB method to calculate the values of electric field intensity at two adjacent positions beyond the turning point and then the electric field intensity profile for the whole region is obtained by making use of the two calculated values.Two simple and explicit formulas are deduced from the discretized scalar wave equation,which provide a relationship among the values of electric field intensity at three adjacent positions.If the effective refractive index of optical waveguide and the refractive index profile for the whole region are known,we can obtain the value of electric field intensity at any position according to the corresponding values at the adjacent positions by using the two formulas aforementioned.By using the two values calculated by WKB method,the electric field intensity profile for the whole region can be determined through the iterative use of the two formulas.The accuracy of the electric field intensity profile determined by the proposed method is greatly dependent on the accuracy of the applied value of the effective refractive index.To achieve exact propagation constants and distributions of electric field intensity,the variational method and modified eigen-equations are employed in the proposed method.Variational method is a very useful method to improve the accuracy of the propagation constants in the analysis of optical waveguides with step-asymmetrical graded refractive index profile.By combining the traditional variational method and calculation of electric field intensity profile by the proposed method,the improved variational method is presented to obtain the exact propagation constants of optical waveguides.The value of propagation constant calculated by WKB method and the corresponding electric intensity field profile determined by the proposed method are chosen as the initial trial value and trial function in the variational method.Propagation constant and the corresponding electric field intensity profile with better accuracy can be achieved by the variational calculation and then are regarded as the new trial value and trial function.By the iterative use of the variational method and calculation of electric field intensity profile by the proposed method at finite times,quite accurate results are obtained.The modified eigen-equations in combination with the proposed method is another approach to calculating accurate propagation constants of optical waveguides with both the step-asymmetrical and symmetrical graded index profile.In comparison with other published methods,the proposed method has the advantages of the simplicity and considerable accuracy. Keywords:graded refractive index profile,optical waveguides,Wentzel-Kramers-Brillouin method, variational method PACS:42.82.Et,03.65.Ge,03.65.Sq D0I:10.7498/aps.64.144205 Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos.61177054) Corresponding author.E-mail:chenkxuestc.edu.cn 144205-7 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 A simple and exact method to analyze optical waveguide with graded index profile∗ Zhang Meng-Ruo Chen Kai-Xin† (Key Laboratory of Optical Fiber Sensing And Communication Ministry of Education, School of Communication and Information Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China) ( Received 27 January 2015; revised manuscript received 25 February 2015 ) Abstract A simple analytical method is proposed to obtain the exact propagation constants and distributions of electric field intensity of optical waveguides with graded refractive index profile. The method is based on the Wenzel-Kramers￾Brillouin (WKB) solution, variational method, modified eigen-equations and discretized scalar wave equation for planar optical waveguide. The expressions of the distribution of electric field intensity based on the conventional WKB method, which diverge around the turning point, have been demonstrated to be very exact in the region beyond the turning point where the refractive index profile varies slowly. The proposed method uses the conventional WKB method to calculate the values of electric field intensity at two adjacent positions beyond the turning point and then the electric field intensity profile for the whole region is obtained by making use of the two calculated values. Two simple and explicit formulas are deduced from the discretized scalar wave equation, which provide a relationship among the values of electric field intensity at three adjacent positions. If the effective refractive index of optical waveguide and the refractive index profile for the whole region are known, we can obtain the value of electric field intensity at any position according to the corresponding values at the adjacent positions by using the two formulas aforementioned. By using the two values calculated by WKB method, the electric field intensity profile for the whole region can be determined through the iterative use of the two formulas. The accuracy of the electric field intensity profile determined by the proposed method is greatly dependent on the accuracy of the applied value of the effective refractive index. To achieve exact propagation constants and distributions of electric field intensity, the variational method and modified eigen-equations are employed in the proposed method. Variational method is a very useful method to improve the accuracy of the propagation constants in the analysis of optical waveguides with step-asymmetrical graded refractive index profile. By combining the traditional variational method and calculation of electric field intensity profile by the proposed method, the improved variational method is presented to obtain the exact propagation constants of optical waveguides. The value of propagation constant calculated by WKB method and the corresponding electric intensity field profile determined by the proposed method are chosen as the initial trial value and trial function in the variational method. Propagation constant and the corresponding electric field intensity profile with better accuracy can be achieved by the variational calculation and then are regarded as the new trial value and trial function. By the iterative use of the variational method and calculation of electric field intensity profile by the proposed method at finite times, quite accurate results are obtained. The modified eigen-equations in combination with the proposed method is another approach to calculating accurate propagation constants of optical waveguides with both the step-asymmetrical and symmetrical graded index profile. In comparison with other published methods, the proposed method has the advantages of the simplicity and considerable accuracy. Keywords: graded refractive index profile, optical waveguides, Wentzel-Kramers-Brillouin method, variational method PACS: 42.82.Et, 03.65.Ge, 03.65.Sq DOI: 10.7498/aps.64.144205 * Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 61177054) † Corresponding author. E-mail: chenkx@uestc.edu.cn 144205-7