物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 E()-E(x-△x) 2理论推导 △x =k号(N-n2(c)E(x), (4) 平板波导的标量波动方程为 dE（四+品(m2(e)-Na)E()=0,( 其中x,i=0,1,2,…为离散化以后的各个模场 dx2 值的坐标，△x为离散间距.整理后得 其中，N:为模式的有效折射率，ko=2T/o为真 E(x+△x)=(△x)2k号(N-n2(x)E(x) 空中的波矢，o为真空中的光波长，n(x)为折射率 的分布函数，E(x)为电场强度的分布函数.以强 +2E(x)-E(x-△x),(5) 非对称的渐变折射率分布波导为例，折射率分布如 E(x:-△x)=(△x)2k(N2-n2(x)E(x) 图1所示. +2E(x)-E(r+△x).(6) n(r) (⑤)式说明，如果有效折射率N:和折射率分布 n(x)已知，x=x:+△x处的模场值可以通过 x=x:-△x和x=x处的模场值推导得出；(6)式 说明x=x一△x的模场值可以通过x=x十△x 和x=x;处的模场值推导得出.设xa和xa-△x no. d 为距转折点较远的折射率变化缓慢位置处的相 邻的两点，即满足x:>>xt,WKB近似法计算 图1强非对称的渐变折射率分布 出的有效折射率为NwKB,如果令NwKB=Vef, Fig.1.Step-asymmetrical graded refractive index profile. 利用WKB近似法导出的衰减区模场表达式（②） 图1中n,n和no分别为折射率的最大值、基 求解模场值Ew(z)和Ew(xa-△x),然后反复 底折射率和外部折射率，d为有效扩散深度，即折 利用(6)式，就可以导出整个区域的模场分布 射率增量下降为最大值的1/e时的深度】 EwKB(x),i=0,1,2,,其中下标WKB表 WKB近似法求解平板波导的波动方程，衰减 示利用NwKB作为有效折射率代入公式后导出的 区的模场表达式2]为 相应的模场分布.在x=0处，根据电磁场连续的 Ew(x)= exp It; 边界条件，可以令x<0区域的模场表达式(3)的 (2) 常系数为A2=EwKB(ro) 仿真表明，该方法建立的模场分布其准确性 而x<0区域的模场分布的表达式为 严重依赖于代入的有效折射率Ner的准确程度， Eo(x)=A2 exp <0 有效折射率越接近精确值，导出的模场分布越准 确.而WKB近似法计算出的有效折射率NwKB和 (3) 精确值相比存在一定误差，因此导出的模场分布 其中A1和A2为常系数：p(x)=(N-n(x) EwKB(x),i=0,1,2,·,仅是一个近似准确的 B为传播常数；xt为转折点的坐标，由方程 模场分布.但是可以利用近似分布，结合变分法、修 kon(x)-B=0决定.从(2)式可以看出，由于 正的模式本征方程等方法解出较为精准的有效折 模场表达式包络部分的分母为√p(工)，在转折点 射率， xt处满足p(x)=0,所以模场表达式在转折点处 为极值点，其模场分布在转折点处是发散的，但是 3建模分析 距转折点较远的折射率缓变的位置，其模场分布是 准确的20 3.1 有效折射率的精确计算 将平板波导的标量波导方程(1)进行离散化， 变分法是一种实用的提高有效折射率的计 离散化的波动方程为 1 「E(x+△x)-E(c) 算精度的方法，其原理为当标准型Sturm-Liouville △x △x 方程满足如下条件时 144205-2 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 2 理论推导 平板波导的标量波动方程为 dE (x) dx 2 + k 2 0 ( n 2 (x) − N 2 eff) E (x) = 0, (1) 其中, Neff 为模式的有效折射率, k0 = 2π/λ0 为真 空中的波矢, λ0 为真空中的光波长, n (x)为折射率 的分布函数, E (x)为电场强度的分布函数. 以强 非对称的渐变折射率分布波导为例, 折射率分布如 图1 所示. nf ns n0 d x n↼x↽ 图 1 强非对称的渐变折射率分布 Fig. 1. Step-asymmetrical graded refractive index profile. 图1 中nf , ns 和n0 分别为折射率的最大值、基 底折射率和外部折射率, d为有效扩散深度, 即折 射率增量下降为最大值的1/e时的深度. WKB近似法求解平板波导的波动方程, 衰减 区的模场表达式[28] 为 Ew (x) = √ A1 p (x) exp [ − ∫ x xt p (x)dx ] x > xt, (2) 而x < 0区域的模场分布的表达式为 E0 (x) = A2 exp [ − √ β 2 − ( (k0n0) 2 ) x ] x < 0, (3) 其中A1 和A2 为常系数; p 2 (x) = k 2 0 (N2 eff − n 2 (x)); β 为 传 播 常 数; xt 为 转 折 点 的 坐 标, 由 方 程 k0n (x) − β = 0决定. 从(2)式可以看出, 由于 模场表达式包络部分的分母为√ p (x), 在转折点 xt 处满足p (x) = 0, 所以模场表达式在转折点处 为极值点, 其模场分布在转折点处是发散的, 但是 距转折点较远的折射率缓变的位置, 其模场分布是 准确 的[20] . 将平板波导的标量波导方程(1)进行离散化, 离散化的波动方程为 1 ∆x [ E (xi + ∆x) − E (xi) ∆x − E (xi) − E (xi − ∆x) ∆x ] = k 2 0 ( N 2 eff − n 2 (xi) ) E (xi), (4) 其中xi , i = 0, 1, 2, · · · 为离散化以后的各个模场 值的坐标, ∆x 为离散间距. 整理后得 E (xi + ∆x) = (∆x) 2 k 2 0 ( N 2 eff − n 2 (xi) ) E (xi) + 2E (xi) − E (xi − ∆x), (5) E (xi − ∆x) = (∆x) 2 k 2 0 ( N 2 eff − n 2 (xi) ) E (xi) + 2E (xi) − E (xi + ∆x). (6) (5)式说明, 如果有效折射率Neff 和折射率分布 n (x)已知, x = xi + ∆x处的模场值可以通过 x = xi − ∆x和x = xi 处的模场值推导得出; (6)式 说明x = xi − ∆x的模场值可以通过x = xi + ∆x 和x = xi 处的模场值推导得出. 设xd 和xd − ∆x 为距转折点较远的折射率变化缓慢位置处的相 邻的两点, 即满足xd >> xt, WKB近似法计算 出的有效折射率为NWKB, 如果令NWKB = Neff, 利用WKB近似法导出的衰减区模场表达式(2) 求解模场值Ew (xd) 和Ew (xd − ∆x), 然后反复 利用 (6)式, 就可以导出整个区域的模场分布 EWKB (xi), i = 0, 1, 2, · · · , 其中下标WKB表 示利用NWKB 作为有效折射率代入公式后导出的 相应的模场分布. 在x = 0处, 根据电磁场连续的 边界条件, 可以令x < 0 区域的模场表达式(3)的 常系数为A2 = EWKB(x0). 仿真表明, 该方法建立的模场分布其准确性 严重依赖于代入的有效折射率Neff 的准确程度, 有效折射率越接近精确值, 导出的模场分布越准 确. 而WKB近似法计算出的有效折射率NWKB 和 精确值相比存在一定误差, 因此导出的模场分布 EWKB (xi), i = 0, 1, 2, · · · , 仅是一个近似准确的 模场分布. 但是可以利用近似分布, 结合变分法、修 正的模式本征方程等方法解出较为精准的有效折 射率. 3 建模分析 3.1 有效折射率的精确计算 变分法 [11] 是一种实用的提高有效折射率的计 算精度的方法, 其原理为当标准型Sturm-Liouville 方程满足如下条件时 144205-2