Copuererg Figure4:爱多士 证明3（爱多士Paul Erd6s)符号π(N)表示不超过正整数N的素数的个 数.（重要，请切记！)首先，任何正整数n均可表为n=rs2,其中r与s均 为正整数且r无平方素因子（这种r称为平方自由整数）. N与π(N)有什么关系呢？为此，设N=rs2.问题：s有多大？显 然，s≤√下.问题：r有多大？由于r≤N是平方自由的，故只需估计有多 少不超过N的平方自由的正整数？每个这样的正整数都是不超过N的不同素 数的乘积，而这样的素数共有π(N)个，因此不超过N的平方自由正整数不 超过2π(W)个（回忆：m元集合的所有子集的个数是2m) 因此这样的正整数N不超过2(W)VN个，特别地 2W)vN≥N. 故 log N π(N)21og4 8Figure 4: ❖õ➡ ②➨3↔❖õ➡Paul Erd¨os↕ ❰Òπ(N)▲➠Ø❻▲✔✒êN✛❷ê✛❻ ê. ↔➢❻➜➒❷P➐↕ ➘❦➜❄Û✔✒ênþ➀▲➃n = rs2 , Ù➙r❺sþ ➃✔✒ê❹r➹➨➄❷Ï❢(ù➠r→➃➨➄❣❞✒ê). N❺π(N)❦➓♦✬❳◗➸➃❞➜✗N = rs2 . ➥❑➭s❦õ➀➸✇ ✱➜s ≤ √ N. ➥❑➭r❦õ➀➸❞✉r ≤ N➫➨➄❣❞✛➜✙➄■✎❖❦õ ✟Ø❻▲N✛➨➄❣❞✛✔✒ê➸③❻ù✘✛✔✒êÑ➫Ø❻▲N✛ØÓ❷ ê✛➛➮➜ ✌ù✘✛❷ê✁❦π(N)❻➜Ï❞Ø❻▲N✛➨➄❣❞✔✒êØ ❻▲2 π(N)❻(↔➪➭m✄✽Ü✛↕❦❢✽✛❻ê➫2 m). Ï❞ù✘✛✔✒êN Ø❻▲2 π(N) √ N ❻➜❆❖✴ 2 π(N) √ N ≥ N. ✙ π(N) ≥ log N log 4 . 8