其中q(9)是X1的特征函数:p(9)=Ee 证明与(17.12)类似地有 ∑f(mk)Xk =E∏o(f(n) p(f(u)2(u)du] a(udu) 于是由全期望公式得到 ik2∑ Φ,(f)=Ee f(TAX =PNr=0)+∑E(e IN=nP(N= n 「(x)dm a(u)du) f(u)(u)dul a(u)du) (u )du off(u))2(u)di flo((u-1)( 因为具有相同的特征泛函的两个随机过程的统计性质是一样的,所以命题17.19常 用于由特征泛函的形式来确定一个随机过程是否是非时齐的复合 Poisson过程 例17.20(非时齐的广义 Poisson过程) k 如果赋值随机变量具有离散分布Xn~ 则非时齐的复合 Poisson PI 过程称为非时齐的广义 Poisson过程.此时的特征泛函为 T ∑pe)-1)2()d Φy(f)=e (17.16) 2.与非时齐的复合 Poisson过程相系的 Poisson点过程 1将非时齐复合 Poisson过程表为非时齐 Poisson过程的积分(用时间积分表示) 利用对于非时齐的 Poisson过程的随机积分的定义,立得下述命题 命题17.21(非时齐的复合 Poisson过程的非时齐 Poisson积分表示) 设N为非时齐的 Poisson过程,{Xn}为与之独立的独立同分布随机变量序列.而456 其中j(J) 是 X1的特征函数: 1 ( ) i X Ee J j J = . 证明 与（１７．１２）类似地有 [ | ) ( ) 1 E e NT n i f k Xk NT k = å= t k k n k i f X Ee ( ) 1 å h = = [ ( ( )] 1 k n k E Õ j f h = = n T n T f u u du u du [ ( ( )) ( ) ] ( ( ) ) 1 0 0 j l l ò ò = ． 于是由全期望公式得到 k k NT k iI k f X Y f Ee ( ) 1 { 1} ( ) å t F = == ³ ( 0) ( | ) ( ) ( ) 1 1 P N E e N n P N n T T i f X n T k k n k = = å = = + = å ¥ = t å ¥ = - + ò = 1 ( ) [1 0 n u du T e l n T n T f u u du u du [ ( ( )) ( ) ] ( ( ) ) 1 0 0 j l l ò ò ] ! ( ( ) ) 0 n u du n T l ò u du f u u du T T e e ( ) ( ( )) ( ) 0 0 l j l ò ò = - f u u du T e [ ( ( ) 1]) ( ) 0 j - l ò = ． 】 因为具有相同的特征泛函的两个随机过程的统计性质是一样的，所以命题１７.１９常 用于由特征泛函的形式来确定一个随机过程是否是非时齐的复合 Poisson 过程． 例１７.２０ （非时齐的广义 Poisson 过程） 如果赋值随机变量具有离散分布 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ L L L L k n p p k X 1 ~ １ ，则非时齐的复合 Poisson 过程称为非时齐的广义 Poisson 过程. 此时的特征泛函为 FY ( f ) = p e u du if u k k k T e [ 1]) ( ) ( ) 1 0 å - l ò ¥ = ． （１７．１６） ２．与非时齐的复合 Poisson 过程相系的 Poisson 点过程 ２．１ 将非时齐复合 Poisson 过程表为非时齐 Poisson 过程的积分（用时间积分表示） 利用对于非时齐的 Poisson 过程的随机积分的定义，立得下述命题. 命题１７．２１ （非时齐的复合 Poisson 过程的非时齐 Poisson 积分表示） 设 Nt 为非时齐的 Poisson 过程，{ } X n 为与之独立的独立同分布随机变量序列．而