op ()=ee (17.13) 推论1 7 (1) E(Ns N,) (2)E(N1N2N) A(udu (3) E(N, N N, N,)=a(u)du+Cov(M ) COv(N, N,)+ COv(N,, N,) COv(N, N,) 明取f()=∑9lon1( ()记为o(9,…,94)·求 0q(00.00,),就得到(3).其它类似 [注]对于一般未必可微的递增函数A,,还可以推广定义以A,为补偿函数的非时齐的 Poisson 过程N:非时齐的独立增量过程,且对于任意S<t,有N1-N,~ Poisson..此时仍有 与(17.8),(17.10),(17.11)与(17.12)相应的结论 1.5非时齐的复合 Poisson过程及其特征泛函 定义17.18设N为非时齐的 Poisson过程,{Xn}为与之独立的独立同分布随机 变量序列F,=∑x称为非时齐的复合 Poisson过程{xm}称为赋值随机变量序列(或 标值序列) 可以证明非时齐的复合 Poisson过程是非时齐的独立增量过程 命题17.19非时齐的复合 Poisson过程Y在区间[0,7]上的特征泛函定义为 于是有 Φ1(O=e (17.15) 455455 i f s d N e if s s ds N if s T s T f Ee e ( ) [ 1 ( )] ( ) ( ) 0 ~ 0 ~ ( ) D - - l ò = ò F = ．（１７．１３） 推论１７．１７ （１） E N N Cov N N u du s t s t ( s t ) ( , ) ( ) 0 ~ ~ l ò Ù = = ． （２） E N N N u du t t t ( t t t ) ( ) 1 2 3 1 2 3 0 ~ ~ ~ l ò Ù Ù = ． （３） = + ò Ù Ù Ù E N N N N u du t t t t ( t t t t ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 0 ~ ~ ~ ~ l ( , ) 1 2 Cov Nt Nt ( , ) + 3 4 Cov Nt Nt ( , ) 1 3 + Cov Nt Nt ( , ) + 2 4 Cov Nt Nt ( , ) 1 4 Cov Nt Nt ( , ) 2 3 Cov Nt Nt ． 证 明 取 ( ) ( ) [0, ] 4 1 f t I t k i t k å J = = ． 将 ~ ( f ) N F 记 为 ( , , ) j J1 L J4 ． 求 (0,0,0,0,) 1 4 4 J J j ¶ ¶ ¶ L ，就得到（３）．其它类似． ［注］ 对于一般未必可微的递增函数 Lt ，还可以推广定义以 Lt 为补偿函数的非时齐的 Poisson 过程 Nt ： 非时齐的独立增量过程， 且对于任意 s < t ，有 t s N N Poisson t - s ~ L -L ． 此时仍有 与（１７．８），（１７．１０），（１７．１１）与（１７．１２）相应的结论． １．５ 非时齐的复合 Poisson 过程及其特征泛函 定义１７.１８ 设Nt 为非时齐的 Poisson 过程，{ } X n 为与之独立的独立同分布随机 变量序列． k N k Yt X t å= = 1 称为非时齐的复合 Poisson 过程．{ } X n 称为赋值随机变量序列（或 标值序列）． 可以证明非时齐的复合 Poisson 过程是非时齐的独立增量过程． 命题１７.１９ 非时齐的复合 Poisson 过程Yt 在区间[0,T ]上的特征泛函定义为 t T i f t dY Y f Ee ( ) 0 ( ) ò F = D ． （１７．１４） 于是有 FY ( f ) = f u u du T e [ ( ( ) 1]) ( ) 0 j - l ò , （１７．１５）