∑Ef(r)|N,=川]=E∑f(m)=E(∑f(m)=∑E/(m) =nl f(u) (17.12) 于是 E(f(sN,)=∑∑E(r)1M,=nP(N=n 此即(17.10).(17.11)的证明是类似的 注也可以用特征泛函Φx(9·)对9求一阶微商和二阶微商得到 命题17.14(非时齐的 Poisson过程的补偿函数)设N1是以A(1)为强度函数 的非时齐的isom过程,那么N,=N-「(s)d是鞅.A(s)d称为非时齐的 Poisson过程的补偿函数 定义17.15(对非时齐的 Poisson过程的随机积分)对于有界的(N,)可知的 随机过程,用与Ito积分类似地用积分和的极限,可以定义H关于鞅N,的随机积分, 以及关于N,的随机积分: p.dN 中(N,≥1) 关于鞅N的随机积分是Io积分的非时齐的 Poisson版本,而且有 里,Ny=「坐dN,+平,x(s) 关于时齐的 Poisson过程的随机积分有许多与lto积分相仿的性质. 命题17.16鞅Nt的特征泛函为454 [ ( ) | ] ( ( )) ( ( )) ( ) 1 1 * 1 1 k n k k n k k n k k t n k å E f t N n E å f h E å f h å Ef h = = = = = = = = du s ds u n f u t t ( ) ( ) ( ) 0 0 l l ò ò = ． （１７．１２） 于是 ( ( ) ) 0 s t E ò f s dN [ ( ) | ] ( ) 0 1 E f k Nt n P Nt n n n k = å å = = = ¥ = t du s ds u EN f u t t t ( ) ( ) ( ) 0 0 l l ò ò = = f u u du t ( ) ( ) 0 l ò ． 此即（１７．１０）．（１７．１１）的证明是类似的. 注 也可以用特征泛函 ( f ) N F J × 对J 求一阶微商和二阶微商得到． 命题１７．１４ （非时齐的 Poisson 过程的补偿函数） 设Nt 是以l(t) 为强度函数 的非时齐的 Poisson 过程，那么N N s ds t t t ( ) 0 ~ l ò = - D 是鞅． s ds t t ( ) 0 l ò D L = 称为非时齐的 Poisson 过程的补偿函数． 定义１７．１５ （对非时齐的 Poisson 过程的随机积分） 对于有界的 ) （Nt 可知的 随机过程Yt ，用与 Ito 积分类似地用积分和的极限，可以定义Yt 关于鞅 N t ~ 的随机积分， 以及关于 Nt 的随机积分： ï î ï í ì = Y ³ Y = å ò = 0 ( 0) ( 1)) 1 0 t t N n s s t N N dN n t t ． 关于鞅 N t ~ 的随机积分是 Ito 积分的非时齐的 Poisson 版本, 而且有 dN d N s ds s t s s t s s t ( ) 0 ~ 0 0 Y = Y + Y l ò ò ò 关于时齐的 Poisson 过程的随机积分有许多与 Ito 积分相仿的性质． 命题１７．１６ 鞅N t ~ 的特征泛函为