特征泛函是有限个时刻的联合特征函数在一个区间上的所有时刻情形的自然推广.由 于在s<t时有 「(m)dne"-1) Ee(-N,)= 于是对于f()=91lon()+92·l41就有 d()=9·lon+92lta1)= (61M1+62(N2-Nn) E ee 02(N2-Nn) (n)du-1)「(a)de2-1 「(e"1n1(10)-1)d ((e()-1)d 我们可以归纳为如下的定理 定理17.12对于连续函数∫(m)(或更为一般的有界Borl函数∫),非时齐的 Poisson过程的特征泛函在∫处的值为 f(r)dN a(new-l)dr (17.8) 在一些统计问题中常常用到在强度函数(1)中带有未知参数的非时齐的 Poisson过 程(参见例17.10),这时需要用实测数据来估计这些未知参数,例如用最大似然估计,于是 需将观测到的样本置入定理17.8的分布中去,为此我们要对定理17.8作如下的变形 定理17.8’对于非时齐的 Poisson过程,我们有(由过程的一个样本给出的似然函 数):在N,=0时 i(u)du P 而在N,>0时 4mMn∑mn,-a InA(u)dN P (17.9) [注]在用例17.10的参数模型建模时,需要用过程的一段观测轨道估计未知参 数.而使(17.9)取得最大值的参数作为估计,就是最大似然估计 推论17.13 E(/(S)dN, )=/(s)X(s)ds (1 10) Var( f(s)dN,)= f(s)2(s)ds (17.11 证明由定理17.9,利用对称性,我们得到453 特征泛函是有限个时刻的联合特征函数在一个区间上的所有时刻情形的自然推广． 由 于在 s < t 时有 ( ) ( 1) ( ) - - ò = q l q i t t s s u du e i N N Ee e , 于是对于 f t I t I (t) 1 [0,t ] 2 (t ,t ] 1 1 2 ( ) =J × ( ) +J × 就有 F f = F( 1 × I [0,t ] + 2 × I (t ,t ] ) = 1 1 2 ( ) J J ( ( ) 2 1 2 1 1 Nt Nt Nt i Ee q × +q - ( ) 2 1 2 1 1 t Nt Nt i N i Ee Ee × - = q q ( ) ( 1) 1 1 0 - ò = J l i t u du e e ( ) ( 1) 2 2 1 - ò J l i t t u du e e ` t e dt t ) t t t I t i ( 1I T e ( )( 1) ( ) 2 ( 1 , 2 ] ( ) [ 0, 1] 0 - + ò = q q l t e dt if t T e ( )( 1) ( ) 0 - ò = l ． 我们可以归纳为如下的定理 定理１７．１２ 对于连续函数 f (t) (或更为一般的有界 Borel 函数 f ), 非时齐的 Poisson 过程的特征泛函在 f 处的值为 t T i f t dN Ee ( ) 0 ò t e dt N if t T f e ( )( 1) ( ) 0 ( ) - ò = F = l ． （１７．８） 在一些统计问题中常常用到在强度函数l(t) 中带有未知参数的非时齐的 Poisson 过 程 (参见例 17.10), 这时需要用实测数据来估计这些未知参数, 例如用最大似然估计, 于是 需将观测到的样本置入定理 17. ８的分布中去, 为此, 我们要对定理１７．８作如下的变形 定理 17. ８’ 对于非时齐的 Poisson 过程, 我们有(由过程的一个样本给出的似然函 数)：在 Nt = 0 时 u du N t n t Nt t p N e ( ) , , , 1 0 1 ( , , , ) l t t t t ò = - L L , 而在 Nt > 0 时 u t t k Nt k t Nt t u du u du u dN N t n p N e e ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) , , , 1 0 1 0 0 1 ( , , , ) l l t l l t t t t ò ò = ò å = - + - + L = L ． （１７．９） ［注］ 在用例１７.１０的参数模型建模时，需要用过程的一段观测轨道估计未知参 数．而使（１７．９）取得最大值的参数作为估计，就是最大似然估计． 推论 １７．１３ ( ( ) ) 0 s t E ò f s dN = f s s ds t ( ) ( ) 0 l ò ， （１７．１０） = ò ( ( ) ) 0 s t Var f s dN f s s ds t ( ) ( ) 2 0 l ò ． （１７．１１） 证明 由定理１７．９, 利用对称性, 我们得到