《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 (arctgx)(yy-arctgx 1 1 se(arctgx) 同理可得((arxy=1+子 三、复合函数的导数 问题1设f(x)=sn2x,求(x):2).设fx)=sim(a),求厂(x):3).设fx)=x“,求 f(x). 定理5设∫4，)与8)存在，山=8，)，则复合函数Fx)=八g(x在点可导，且 F'(x)=f"Lg(x月g'(x) 注若f)的定义域包含“=(x)的值域，两函数在各自的定义域上可导，则复合函数 F(x)=f几g(x川在g(x)的定义域上可导，且 F'(x)=fTg(x】g(x)(怀中抱月) 或 =必4， _少.du dx du dx 定理的证明定义函数 f0-f,u≠6 4(0）=u-6 f"(4),=4· 4在“，点连续，回4w=4%)=f) 由恒等式，f四-f4,)=4uu-）,我们有 F)-F_Lg-1&,】-g川：8)-8 x-Xo x-Xo x-Xo 令x→，得F()=fg(x小g'(x) 我们引进4（四）是为了避免再直接写表达式《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 6 2 。 2 1 1 sec ( ) 1 ( ) 1 ( ) x arctg x tg y y arctg x arctg x + = =  =  = 同理可得 2 1 1 ( ) x arcctg x +  = − . 三、复合函数的导数 问题 1 设 f (x) = sin 2x ,求 f '(x) ;2）. 设 ( ) sin( ) x f x = a ,求 f '(x) ;3）. 设  f (x) = x ,求 f '(x) . 定理 5 设 ( ) u0 f  与 ( ) 0 g x 存在, ( ) 0 0 u = g x ,则复合函数 F(x) = f [g(x)] 在 0 x 点可导,且 ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0 F x = f  g x  g x . 注 若 f (u) 的定义域包含 u = g(x) 的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数 F(x) = f [g(x)] 在 g(x) 的定义域上可导,且 F(x) = f [g(x)] g(x) （怀中抱月） 或 x u ux y = y   , dx du du dy dx dy =  . 定理的证明 定义函数       =  − − = 0 0。 0 0 0 ( ) , , , ( ) ( ) ( ) f u u u u u u u f u f u A u A(u) 在 0 u 点连续, lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A u A u f u u u = =  → . 由恒等式, ( ) ( ) ( )( ) u0 A u u u0 f u − f = − ,我们有 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] x x g x g x A g x x x f g x f g x x x F x F x − − =  − − = − − 令 0 x → x ,得 ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0 F x = f  g x  g x . 我们引进 A(u) 是为了避免再直接写表达式