2)[5分] v,(x, t=vn(x)e 时刻的波函数:v(x,1)=片|w(x)lb+v(x)e 3)15分1时刻测量到粒子的能量为E的几率是:Nw(x)wv(x)= r时刻测量到粒子的能量为E2的几率是:v2(x2)v(x 4)[10分] 平均能量:E=(小()={(xh四(x)=E+E2_5x2 平均位置:x=((x,)x(x2) a_16(E-E2)t COS 二。|30分一维线性谐振子 质量为m的粒子在一维线性谐振子势:(x) 中运动。按占有数表象,哈密顿可 写为:H=ho{aa+。这里a是湮灭算符,a'是产生算符: x 2h 已知一维线性谐振子基态波函数为 1。10分利用产生算符性质:atv(x)=v(x),求线性谐振子第一激发态在坐标表象下 的波函数:W1(x):(v(x)= /e2 mo 2。10分假设粒子处在基态v(x),突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为o=2, 粒子新的基态能是多少?新的基态波函数是什么? 0分假设这时子数变((m)号,此时测子 发现粒子能量取新的基态能的几率是多少? 解:1)[10分]2）[5 分] ( , ) ( ) n iE t n n   x t x e − = t 时刻的波函数： ( ) 1 2 1 2 1 , ( ) ( ) 2 iE t iE t    x t x e x e   − − = +     3）[5 分] t 时刻测量到粒子的能量为 E1 的几率是： ( ) ( ) 2 1 1 , , 2   x t x t = t 时刻测量到粒子的能量为 E2 的几率是： ( ) ( ) 2 2 1 , , 2   x t x t = 4）[10 分] 平均能量： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 5 ˆ , , , , 2 4 E E E x t E x t x t i x t t ma       + = = = =  平均位置： ( ) ( ) ( 1 2 ) 2 16 , , cos 2 9 a a E E t x x t x x t      − = = −     二。[30 分]一维线性谐振子： 质量为 m 的粒子在一维线性谐振子势： 2 2 ( ) 2 m x V x  = 中运动。按占有数表象，哈密顿可 写为： ( ) † 1 H a a  2 = + 。这里 a ˆ 是湮灭算符， † a ˆ 是产生算符： † 2 2 m i a x p m m i a x p m         = +           = −      已知一维线性谐振子基态波函数为： 1。[10 分]利用产生算符性质： ( ) ( ) † 0 1 a x x ˆ  = ，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下 的波函数： 1 ( x) ；（ ( ) 1 2 4 2 0 m x m x e     −   =     ） 2。[10 分]假设粒子处在基态 0 ( x) ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为    = 2 ， 粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？ 3。[10 分]假设这时粒子波函数仍然保持不变（ ( ) 1 2 4 2 m x m x e     −   =     ），此时测量粒子能量， 发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？ 解：1）[10 分]