北京科技大学：《量子力学与原子物理》课程教学资源（试卷习题）2003（秋）初等量子力学试题及解答

北京科技大学2003—2004学年度第一学期 量子力学与原子物理试题答案 题号 五总分学院: 班级: 学号 得分 姓名: 可能会有用的公式 薛定谔方程:y=i h2 d2 一维定态薛定谔方程 2m d +()v(x)=Ev(x) 动量算符:p=力 ax 高斯积分:eadh 。30分|一维无限深方势阱: 质量为m的粒子在一维无限深方势阱中运动,势阱可表示为: (x) 0,x∈(0,a) ∞,xa 1。[10分求解能量本征值E和归一化的本征函数vn(x); 2。[5分]若已知t=0时,该粒子状态为:V(x,0)=后(w1(x)+2(x),求1时刻该粒子 的波函数 3。[5分求时刻测量到粒子的能量分别为E1和E2的几率是多少? 4。[10分求t时刻粒子的平均能量E和平均位置x 解:1)[10分 n

北京科技大学 2003——2004 学年度第一学期 量子力学与原子物理试题答案 题号 一 二 三 四 五 总分 学院： 班级： 学号： 得分 姓名： 可能会有用的公式： 薛定谔方程： H i ˆ t    =  一维定态薛定谔方程： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 d V x x E x m dx       − + =   动量算符： p ˆ i x  =  高斯积分： 2 x e dx     − − =  一。[30 分]一维无限深方势阱： 质量为 m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为： ( ) 0; 0, ( ) ; 0, x a V x x x a   =     1。[10 分]求解能量本征值 E n 和归一化的本征函数 ( ) n  x ； 2。[5 分]若已知 t = 0 时，该粒子状态为： ( ) ( 1 2 ) 1 ,0 ( ) ( ) 2    x x x = + ，求 t 时刻该粒子 的波函数； 3。[5 分]求 t 时刻测量到粒子的能量分别为 E1 和 E2 的几率是多少？ 4。[10 分]求 t 时刻粒子的平均能量 E 和平均位置 x 。 解：1）[10 分] 2 2 2 2 2 sin 2 n n n x a a n E ma        =        = 

2)[5分] v,(x, t=vn(x)e 时刻的波函数:v(x,1)=片|w(x)lb+v(x)e 3)15分1时刻测量到粒子的能量为E的几率是:Nw(x)wv(x)= r时刻测量到粒子的能量为E2的几率是:v2(x2)v(x 4)[10分] 平均能量:E=(小()={(xh四(x)=E+E2_5x2 平均位置:x=((x,)x(x2) a_16(E-E2)t COS 二。|30分一维线性谐振子 质量为m的粒子在一维线性谐振子势:(x) 中运动。按占有数表象,哈密顿可 写为:H=ho{aa+。这里a是湮灭算符,a'是产生算符: x 2h 已知一维线性谐振子基态波函数为 1。10分利用产生算符性质:atv(x)=v(x),求线性谐振子第一激发态在坐标表象下 的波函数:W1(x):(v(x)= /e2 mo 2。10分假设粒子处在基态v(x),突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为o=2, 粒子新的基态能是多少?新的基态波函数是什么? 0分假设这时子数变((m)号,此时测子 发现粒子能量取新的基态能的几率是多少? 解:1)[10分]

2）[5 分] ( , ) ( ) n iE t n n   x t x e − = t 时刻的波函数： ( ) 1 2 1 2 1 , ( ) ( ) 2 iE t iE t    x t x e x e   − − = +     3）[5 分] t 时刻测量到粒子的能量为 E1 的几率是： ( ) ( ) 2 1 1 , , 2   x t x t = t 时刻测量到粒子的能量为 E2 的几率是： ( ) ( ) 2 2 1 , , 2   x t x t = 4）[10 分] 平均能量： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 5 ˆ , , , , 2 4 E E E x t E x t x t i x t t ma       + = = = =  平均位置： ( ) ( ) ( 1 2 ) 2 16 , , cos 2 9 a a E E t x x t x x t      − = = −     二。[30 分]一维线性谐振子： 质量为 m 的粒子在一维线性谐振子势： 2 2 ( ) 2 m x V x  = 中运动。按占有数表象，哈密顿可 写为： ( ) † 1 H a a  2 = + 。这里 a ˆ 是湮灭算符， † a ˆ 是产生算符： † 2 2 m i a x p m m i a x p m         = +           = −      已知一维线性谐振子基态波函数为： 1。[10 分]利用产生算符性质： ( ) ( ) † 0 1 a x x ˆ  = ，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下 的波函数： 1 ( x) ；（ ( ) 1 2 4 2 0 m x m x e     −   =     ） 2。[10 分]假设粒子处在基态 0 ( x) ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为    = 2 ， 粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？ 3。[10 分]假设这时粒子波函数仍然保持不变（ ( ) 1 2 4 2 m x m x e     −   =     ），此时测量粒子能量， 发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？ 解：1）[10 分]

w1(x)=ayo(x)= 2h 利用:x=x,p= no 其中 i dx V方 w1()=avo(x) x-4)√G a x exp moi dx d)√a √、a2dk exp axa「a2x2 √ exp/a 2a dx 2 1(o2 xexp xyol 2)[10分] 新基态能:E =ho no 新基态波函数:v(x) 3)[10分] 三。140分两电子波函数 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或 是反对称的。由于电子是费米子,整体波函数在交换全部坐标变量(包括空间部分和自旋部 分)时必须是反对称的 1。[15分]假设空间部分波函数是反对称的,求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为 S=S+2。求:S2和S的本征值 2。[15分]假设空间部分波函数是对称的,求对应自旋部分波函数,S2和S的本征值 3。[10分]假设两电子系统哈密顿量为:H=Js1·三2,分别针对(1)(2)两种情形,求系 统的能量 解:1)[15分]自旋三重态( spin triplet)

( ) ( ) 1 2 4 † 2 1 0 2 m x m i m x a x x p e m        −     = = −         利用： , d x x p i dx = = ， ( ) 2 2 0 1/ 4 exp 2 x x       = −    ，其中： m  = ( ) ( ) ( ) 2 2 † 1 0 1/ 4 2 2 2 1/ 4 2 2 2 2 1/ 4 1/ 4 3/ 2 2 2 2 2 2 1/ 4 1/ 4 3/ 2 1/ 4 exp 2 2 1 exp 2 2 1 exp exp 2 2 2 2 1 exp exp 2 2 2 2 2 ex i d x x a x x m i dx d x x dx x x d x dx x x x x x                                 = = − −             = − −             = − − −             = − + −         = ( ) 2 2 0 p 2 2 x x x      − =     2）[10 分] 新基态能： 0 2 E     = = 新基态波函数： ( ) 1 1 2 2 4 4 2 0 2 m x m x m m x e e          − −      = =         3）[10 分] 测量粒子能量取新基态能的几率： ( ) 2 2 1/ 4 0 2 2 2 2 0.9428 3 3 w x     = = = =        三。[40 分]两电子波函数： 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或 是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部 分）时必须是反对称的。 1。[15 分]假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为： 1 2 S s s = + 。求： 2 S 和 z S 的本征值； 2。[15 分]假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数， 2 S 和 z S 的本征值； 3。[10 分]假设两电子系统哈密顿量为： H Js s =  1 2 ，分别针对（1）（2）两种情形，求系 统的能量。 解：1）[15 分]自旋三重态（spin triplet）

空间部分波函数是反对称的,自旋部分应对称: A= 对应总自旋平方S2本征值为:2h2 对应总自旋第三分量S.本征值分别为:h,一h,0 2)[15分]自旋单态( spin singlet) 空间部分波函数是对称的,自旋部分应反对称:hs ↑-↑ 对应总自旋平方S2本征值为:0 对应总自旋第三分量S.本征值分别为:0 3)[10分] 哈密顿:H=Js1·三2,利用:S1·S2 h2-2×2h2 针对自旋三重态:S1S2 对应能量:Ex=h2 0-2× 针对自旋单态:S:S2= 4,对应能量:E=-4h

空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称： ( ) 1 2  s    =      +   对应总自旋平方 2 S 本征值为： 2 2 对应总自旋第三分量 z S 本征值分别为： , ,0 − 2）[15 分]自旋单态（spin singlet） 空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称： ( ) 1 2  A =  −  对应总自旋平方 2 S 本征值为：0 对应总自旋第三分量 z S 本征值分别为：0 3）[10 分] 哈密顿： H Js s =  1 2 ，利用： 2 2 2 1 2 1 2 2 S s s s s − −  = 针对自旋三重态： 2 2 2 1 2 3 2 2 4 2 4 s s −   = = ，对应能量： 2 4 T J E = 针对自旋单态： 2 2 1 2 3 0 2 3 4 2 4 s s −   = = − ，对应能量： 3 2 4 S J E = −