《固体物理学》课程教学资源（讲义）第一章 晶体结构（1.4）倒格子

圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 §14倒格子 由于晶格具有周期性,一些物理量具有周期性,如势能函数:(x)=(x+l1a1+l2a2+l1a3) 如图XCH001024所示,A和A两点势能相同 Lattice vector for two dimensions -势能函数是以a1,a2,a3为周期的三维周期函数 引入倒格子,可以将三维周期性函数展开为傅里叶级数。 1.倒格子的定义 1=4l2=3xH001024 根据基矢定义三个新的矢量: 2x1=2:=2一子基尖量 b1,b2,b3为基矢,可以构成一个倒格子 倒格子每个格点的位置:Gnn1=n1b+n2b2+n3b3-—倒格子矢量,或倒格矢 容易验证倒格子基矢与正格子基矢满足:a,b=2n0=27(= =0(≠0·/=12,3 倒格子:与晶面密切相连的一类点子,这些点子在空间的规则周期性排列。 关于时间周期性函数的傅里叶级数展开含义 时间周期函数f(1)=f(1+nT) 可以将f(1)=f(mT+n7)看作是以为宗量、周期为1的周期函数。 将∫()展开为傅里叶级数:f(r)=∑F2c2mm)--m为整数 傅里叶系数:Fn=|dre REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 §1.4 倒格子 由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期性，如势能函数： ( ) ( ) 1 1 2 2 3a3 V x V x l a l a l K K G G G = + + + —— 如图 XCH_001_024 所示，A 和 A’两点势能相同。 —— 势能函数是以 1 2 3 a , a , a G G G 为周期的三维周期函数 引入倒格子，可以将三维周期性函数展开为傅里叶级数。 1. 倒格子的定义 根据基矢定义三个新的矢量： 1 2 3 1 2 3 2 a a a a a b G G G G G G ⋅ × × = π ; 1 2 3 3 1 2 2 a a a a a b G G G G G G ⋅ × × = π ； 1 2 3 2 3 1 2 a a a a a b G G G G G G ⋅ × × = π ——倒格子基矢量 —— 以 1 2 3 b , b , b K K K 为基矢，可以构成一个倒格子 倒格子每个格点的位置： 1 1 2 2 3 3 1 2 3 G n b n b n b n n n K K K K = + + —— 倒格子矢量，或倒格矢。 容易验证倒格子基矢与正格子基矢满足： 2 ( 2 0 ( i j ij i j a b i j π πδ ) ) ⎧= = ⋅ = ⎨ ⎩= ≠ K K ，i, j =1, 2, 3 + 倒格子：与晶面密切相连的一类点子，这些点子在空间的规则周期性排列。  关于时间周期性函数的傅里叶级数展开含义 时间周期函数 f (t) = f (t + nT ) 令 t =τT ，τ : 0 ~ 1 可以将 f (t) = f (τT + nT ) 看作是以τ 为宗量、周期为 1 的周期函数。 将 f (τ ) 展开为傅里叶级数： 2 ( ) ( ) i m m m f F e π τ τ = ∑ —— m 为整数 傅里叶系数： ( ) 2 ( ) 1 0 τ τ π τ F d e f i m m − ∫ = REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH

圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 2丌 和t=T得到: x=代入()=∑Fe2m--f0)=∑Fem 傅里叶系数:F=万Jdc-m()--mO为/(0)的傅里叶展开中的各种频率 时间一一正格子:基矢:T,正格矢:nT 频率—一倒格子:基矢:O,倒格矢:mO 满足:oT=2x 具有晶格周期性函数傅里叶级数的展开 晶格原胞中任一点:x=51+52a2+533--其中51,2,53为宗量 一将(x)=(x+l1a1+l2a2+l1a3)可以看作是以51,22,3为宗量,周期为1的周期函数 傅里叶级数:V(5,52,53)=∑,小,42m(一-其中:h,h2为整数 系数A=4J4535:2mMW(5,52,5) 由b3=2 b2 和x=51a1+52a2+53a2 得到:5=b·,52=b2,53=b代入(5,525)=∑T,,C2m+3 得到:(x)=∑队,物物,(x)=∑物 内,每2, 系数11em44(x)面J(x) 积分在一个原胞中进行 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 由 T π ω 2 = 和t =τT 得到： π ω τ 2 t = 将 π ω τ 2 t = 代入 = ∑ m i m m f F e 2 ( ) ( ) π τ τ —— ( ) im t m m f t F e ω = ∑ 傅里叶系数： 0 1 ( ) T im t F d m te f T − ω = ∫ t —— mω 为 f (t) 的傅里叶展开中的各种频率 时间——正格子：基矢：T ，正格矢： nT 频率——倒格子：基矢：ω ，倒格矢： mω —— 满足：ωT = 2π + 具有晶格周期性函数傅里叶级数的展开 晶格原胞中任一点： 1a1 2a2 3a3 x K G G G = ξ +ξ +ξ —— 其中 1 2 3 ξ ,ξ ,ξ 为宗量 —— 将 ( ) ( ) 1 1 2 2 3a3 V x V x l a l a l K K G G G = + + + 可以看作是以 1 2 3 ξ ,ξ ,ξ 为宗量，周期为 1 的周期函数 傅里叶级数： ∑ —— 其中： 为整数。 + + = 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 , , 2 ( ) 1 2 3 , , ( , , ) h h h i h h h h h h V V e π ξ ξ ξ ξ ξ ξ 1 2 3 h , h ,h 系数 ( , , ) 1 2 3 2 ( ) 3 1 0 2 1 0 1 1 0 , , 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ξ ξ ξ ξ ξ ξ π ξ ξ ξ V d d d e V i h h h h h h − + + ∫ ∫ ∫ = 由 1 2 3 1 2 3 2 a a a a a b G G G G G G ⋅ × × = π ; 1 2 3 3 1 2 2 a a a a a b G G G G G G ⋅ × × = π ； 1 2 3 2 3 1 2 a a a a a b G G G G G G ⋅ × × = π 和 1a1 2a2 3a3 x K G G G = ξ +ξ +ξ 得到： b x K K = ⋅ 1 1 2 1 π ξ ， b x K K = ⋅ 2 2 2 1 π ξ ， b x K K = ⋅ 3 3 2 1 π ξ 代入 ∑ + + = 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 , , 2 ( ) 1 2 3 , , ( , , ) h h h i h h h h h h V V e π ξ ξ ξ ξ ξ ξ 得到： ∑ + + ⋅ = 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 , , ( ) , , ( ) h h h i h b h b h b x h h h V x V e K K K K K ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , ( ) h h h iG x h h h h h h V x V e ⋅ = ∑ K K K —— 系数 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ( ) , , 1 2 3 1 2 3 1 1 ( ) ( ) h h h i h b h b h b x iG x V d h h h xe V x dxe a a a a a a − + + − ⋅ ⋅ = = ⋅ × ⋅ × ∫ ∫ V x K K K K K K KKK G G G G G G K —— 积分在一个原胞中进行 REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH

圉体物理学_黄晃第一章固体构_20050406 2.倒格子与正格子间的关系 ★倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积 g2*=b.b.×(2n)(a,xa)(a3×a1)×(a1×a2) A×BxC=(A.C)B-(A.B)C--B→a1 (a3xa1)×(a1xa2)=[a3xa1)a2)-[a3xa1)a]2=9a1 (a2×a3)·a1 XCH001047 ★正格子中一簇晶面(hh2h2)和G正交 h,h,h3 因为a1·b,=2n,O4=hb1+h2b2+hb3 B 如图XCH001047所示 XCH001050 hh2h3● 很容易证明:Gnh·CA=0,Ghb·CB=0 即Ghn与晶面簇(h1h2h2)正交。 ★G为晶百(hh)的法线方向,晶面方程可以表a A 示为:(h1b+h2b2+h3b3)x=2m n取不同值代表一个一簇晶面系中,不同的晶面。如图XCH001050所示。 2丌 各晶面到原点的垂直距离:dn= 内+九色+,同距:“++ REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 2. 倒格子与正格子间的关系 + 倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积 ( ) ( ) ( ) (2 ) * ( ) 3 2 3 3 1 1 2 3 b1 b2 b3 a a a a a a K K K K K K K K K × ⋅ × × × Ω Ω = ⋅ × = π A B C A C B A B C K K K K K K K K K × × = ( ⋅ ) − ( ⋅ ) —— 3 1 1 2 A a a B a C a → × → → K K K K K K K [ ] [ ] 3 1 1 2 3 1 2 1 3 1 1 2 1 (a a ) (a a ) (a a ) a ) a (a a ) a a a K K K K K K K K K K K K K × × × = × ⋅ − × ⋅ = Ω Ω × ⋅ = Ω Ω = 3 2 2 3 1 3 (2 ) ( ) (2 ) * π π a a a K K K + 正格子中一簇晶面(h1h2h3 ) 和Gh1h2h3 正交 K 因为 ai ⋅ bj = 2πδ ij ， K K 1 1 2 2 3 3 1 2 3 G h b h b h b h h h K K K K = + + 如图 XCH_001_047 所示。 3 3 2 2 3 3 1 1 , h a h a CB h a h a CA K K K K = − = − 很容易证明： 0, 0 1 2 3 1 2 3 Gh h h ⋅CA = Gh h h ⋅CB = K K 即Gh1h2h3 与晶面簇 正交。 K ( ) h1h2h3 + 为晶面 的法线方向，晶面方程可以表 示为： 1 2 3 Gh h h K ( ) h1h2h3 (h1b1 + h2b2 + h3b3 )⋅ x = 2πn K K K K —— n 取不同值代表一个一簇晶面系中，不同的晶面。如图 XCH_001_050 所示。 各晶面到原点的垂直距离： 1 1 2 2 3 3 2 h b h b h b n dn K K K + + = π ，面间距： 1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 2 h h h d h b h b h b G π π = = + + K K K K REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH

圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 3.倒格子与晶格的几何关系 OP=p XCH001048 XCH001049 b N b, b 如图XCH001_048所示。原点O引晶面簇ABC的法线ON,在法线上截取一段OP=P,使 pd=2r;d是晶面簇ABC的面间距。对于每一簇晶面都有一点P,以OP为该方向的周期,把P 平移,得出一个新的点阵。这个新格子称为原来的晶格的倒格子,而把原来的晶格称为正格子。 倒格子基矢和正格子基矢间的关系:令正格子的基矢为a12a2a3;正格子的坐标面a1a2,a2a3,a321 各有其对应的晶面簇,设面簇a2,a2a3,a21的面间距分别为d1,d2,d3。作OP⊥a1a2面,在OP 2丌 上截取一段OP=b2,使b3=。同样,对于a2a3面,得出b 2丌 对于a3a1面得出b2 d 这样得出的三个矢量b,b2,b2就取为例格子的基矢。如图XCH001049所示 正格子原胞的体积9=d3(aa2sinO)=d32xa 倒格子基矢:b3= z_2r园a1 2T 2ra, xa, ]4 2T 2a,xa,] 晶格的一簇晶面转化为倒格子中的一点,这在处理晶格的问题上有很大的意义 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 3. 倒格子与晶格的几何关系 如图 XCH_001_048 所示。原点 O 引晶面簇 ABC 的法线 ON，在法线上截取一段OP = ρ ，使 ρd = 2π ；d 是晶面簇 ABC 的面间距。对于每一簇晶面都有一点 P，以 OP 为该方向的周期，把 P 平移，得出一个新的点阵。这个新格子称为原来的晶格的倒格子，而把原来的晶格称为正格子。 倒格子基矢和正格子基矢间的关系：令正格子的基矢为 1 2 3 a , a , a K K K ; 正格子的坐标面 1 2 2 3 3 1 a a , a a , a a K K K K K K 各有其对应的晶面簇，设面簇 1 2 2 3 3 1 a a , a a , a a K K K K K K 的面间距分别为d 。作 面，在 OP 上截取一段OP ，使 1 2 3 , d , d 1 2 OP ⊥ a a K K = b3 3 3 2 d b π = 。同样，对于 a2a3 K K 面，得出 1 1 2 d b ；对于a3a1 K K 面得出 2 2 2 d b π = π = 。 这样得出的三个矢量 1 2 3 b , b , b K K K 就取为例格子的基矢。如图 XCH_001_049 所示。 正格子原胞的体积 3 1 2 3 2 2 d (a a sin ) d a a G G Ω = ⋅ θ = × 倒格子基矢： [ ] Ω × = = 1 2 3 3 2 2 a a d b ; [ ] Ω × = = 3 1 2 2 2 2 a a d b G G G π π ； [ ] Ω × = = 2 3 1 1 2 2 a a d b G G G π π G G G π π —— 晶格的一簇晶面转化为倒格子中的一点，这在处理晶格的问题上有很大的意义 REVISED TIME: 05-9-29 - 4 - CREATED BY XCH