环路定理电势
1 环路定理 电势
、静电场的保守性环路定理 1电场力的功 1.点电荷的场 点电荷q所受电场力为:F=qE 点电荷的场中移动点电荷40从F 到+C,电场做的功: r+dr dA=F·dl=qoE·dl d:0 goEdl cos e dr= dl cos 0 E-q 48r 2 ∴dA=Q4兀50 E 2
2 一、静电场的保守性——环路定理 1.电场力的功 q a r b r E b a F q0 1.点电荷的场 r dr + r 点电荷的场中移动点电荷 从 到 ,电场做的功： q0 r dr + r dA F dl = 点电荷q0所受电场力为： F q E = 0 = q0 Edl cos dr dr = dl cos, 2 4 0 r q E = dr r q dA q 2 0 0 4 = dl c q E dl = 0
∴dA=Q4瓜6 +dr 在q的电场中将检验电荷q妥 d q从a点移动到b点,电场 dr F 力作功为: b q q0q(1 E ra 4Er 4 电场力的功只与始末位置有关,而与路径无关。 2任意带电体系的场 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带 电体,可看成是由无数电荷元组成。 由场强叠加原理可得到电场强度的线积分(移动单 位电荷的功)为:
3 = − a b r r q q 1 1 4 0 0 q r ar br b E a dl F q0 r dr + r dr 在 q 的电场中将检验电荷 q0 从 a 点移动到 b 点，电场 力作功为： b a dr r q q A dA r r b a 4 2 0 0 = = 电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。 2.任意带电体系的场 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带 电体，可看成是由无数电荷元组成。 dr r q dA q 2 0 0 4 = 由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单 位电荷的功）为：
Ed=(E+E2+…+E),l =Ea+「E,d+ →>b 任何静电场,电场强度的线积分只取决于起始和终了 的位置而与路径无关。 结论:电场力为保守力,静电场为保守场。 2静电场的环路定理 (静电场的环路定理 静电场的保守性还可表述为:在静电场中,场强沿 任意闭合路径的线积分等于零。 E=0运动电荷的场不是保守场,而是非 保守场,将在磁场部分讨论。 4
4 b a E dl = + + b a n b a b a E dl E dl E dl 1 2 任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了 的位置,而与路径无关。 结论：电场力为保守力，静电场为保守场。 2.静电场的环路定理 静电场的保守性还可表述为：在静电场中，场强沿 任意闭合路径的线积分等于零。 = L E dl 0 运动电荷的场不是保守场，而是非 保守场，将在磁场部分讨论。 = + + + b a n E E E dl ( ) 1 2 = Aa→b 静电场的环路定理
电势能和电势 电场力是保守力,可引入势能的概念。 1电势能 静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度 设在静电场中,将检验电荷qo从a点沿任意路 径移动到b点,电场力作功为Aab 因为保守力所作的功等于势能增量的负值。 电荷q在静电场中从a点沿任意路径移动到b点时, 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Ea、Eb的关系为: Ab=Aep=-(Epb-E pa)=epa - pb Ab=d F d=go E
5 二、电势能和电势 1.电势能 电场力是保守力，可引入势能的概念。 静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。 设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路 径移动到 b 点，电场力作功为Aab。 因为保守力所作的功等于势能增量的负值。 电荷 q0 在静电场中从 a 点沿任意路径移动到 b 点时， 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Ea、Eb的关系为: Aab = −Ep ( ) = − Epb − Epa = Epa − Epb = = b a b a ab A F dl q E dl 0 q0 E a b
ab E-E E-E pb E·al pb F dl 0 E·c 式中:Ena、Enb是电荷q分别在a点和b点时,qo与电场 所组成的系统的静电势能。 b 电势能也是一个相对的量,必须选择 个零势能点作为参考。 E 令Enb=0,即选定b点为电势能零点 go 电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为: 势能零点 E E·al 意义:电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由 该点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作 的功
6 电势能也是一个相对的量，必须选择一 个零势能点作为参考。 − = b a pa pb E E q E dl 0 式中：Epa、Epb是电荷q0分别在a点和b点时,q0与电场 所组成的系统的静电势能。 令 = 0, Epb 即选定b点为电势能零点。 电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为： = 势能零点 a pa E q E dl 0 意义：电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由 该点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作 的功。 = = b a b a ab A F dl q E dl 0 Aab = Epa − Epb q0 E a b
处为电势能零点。即:En=0,分势能零点 对有限带电体,通常规定无穷远 E·al 电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为: E·l 意义:电荷q在静电场中某点的电势能等于将该电荷由 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。 强调:无限带电体不能取无穷远处为电势能零点。 2电势与电势差 将En=q 势能零点主,团两边同除以 0 得 EE·这一比值与q0的值无关,仅取决 于电场的性质及场点的位置 7
7 = 0, Ep 电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为： = a pa E q E dl 0 意义：电荷q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。 强调：无限带电体不能取无穷远处为电势能零点。 即： 2.电势与电势差 = 势能零点 a pa E q E dl 0 两边同除以q0，得 ： 将 = 势能零点 a pa E dl q E 0 这一比值与q0的值无关，仅取决 于电场的性质及场点的位置。 对有限带电体，通常规定无穷远 处为电势能零点。 = 势能零点 a pa E q E dl 0
E 零点 定义电势:U pa E·cl 意义:把单位正电荷从场点a经过任意路径移到零电势 参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a点所 具有的电势能。 电势差:静电场中两点电势值的差 E-E b U-U pb ab E·al q 意义:把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同,在国际单位制中,电势 的单位为:焦耳/库仑(记作JC),也称为伏特() ,即1V=1J/C 8
8 定义电势： = = 零点 a pa a E dl q E U 0 意义：把单位正电荷从场点a经过任意路径移到零电势 参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a点所 具有的电势能。 电势差：静电场中两点电势值的差。 q0 E E U U U p a p b a b a b − = − = = b a E dl 意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。 q0 Aab =
注意几点: 零点一 pa E·l 1.电势是标量,只有正负之分 2.电势和电势能一样都是相对的量,为了让它有 确定的值,必须选择一个零点作为参考点。但电势 差的值具有绝对的意义,与零点的选择无关。 3.电势零点的选择: 对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中,也常常选地球的电势为零电势。 对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有 电势的相对值(即电势差)有意义。 4电势能与电势的区别:Ep可正可负,取决于q和 qo;U只取决于场源电荷q
9 1.电势是标量，只有正负之分。 2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有 确定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势 差的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 注意几点： 3. 电势零点的选择： 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有 电势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：EP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。 = = 零点 a pa a E dl q E U 0
强调 当已知电势分布时,可用电势差求出点电荷在电 场中移动时电场力所做的功 EdI=q(Ua-Ub 例、用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产 生的电场中的电势分布。 历 解:E 4兀 E·cl qdr p4兀EF 正点电荷周围的场电势为离正电荷越远,电势越低。 负点电荷周围的场电势为离负电荷越远,电势越高。 10
10 当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电 场中移动时电场力所做的功： = b a ab A q E dl 0 例、用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产 生的电场中的电势分布。 r e r q E 2 4 0 = = − = p p p U U U E dl p E q r 负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。 正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。 解： ( ) 0 Ua Ub = q − p p r q dr r q 0 2 4 0 4 = = 强调：