福州大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件讲稿，电磁场、热学）12 磁场的高斯定理和安培环路定理

礅通量礅场的高斯定理 礅场的安培环路定理

1 磁通量 磁场的高斯定理 磁场的安培环路定理

磁场的高斯定理 1.磁力线 为形象的描绘磁场分布的而引 入的一组有方向的空间曲线。 1规定 方向:磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。 大小:通过磁场中某点垂直于磁 感应强度的单位面积的磁力线根数 ⊥ 等于该点磁感应强度的大小。 B d s B 磁感应强度大小为磁力线的面密度。 可用磁力线的疏密程度表示磁感应强度的大小。 2

2 为形象的描绘磁场分布的而引 入的一组有方向的空间曲线。 •方向：磁力线上某点的切线方向为该点磁场方向。 •大小：通过磁场中某点垂直于磁 感应强度的单位面积的磁力线根数 等于该点磁感应强度的大小。 dS   dS d B  m B  磁感应强度大小为磁力线的面密度。 d m 1.磁力线 1.规定 A B BA  BB 可用磁力线的疏密程度表示磁感应强度的大小

2磁力线形状 直线电流的磁力线分布载流螺线管的磁力线分布 3磁力线的性质 1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远; 2磁力线密处B大;磁力线疏处B小; 3闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起; 4磁力线和电流满足右手螺旋法则

3 •直线电流的磁力线分布 2.磁力线形状 1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远； 2.磁力线密处 B 大；磁力线疏处 B 小； 3.闭合的磁力线和载流回路象锁链互套在一起； 4.磁力线和电流满足右手螺旋法则。 3.磁力线的性质 •载流螺线管的磁力线分布

2.磁通量 ds 定义:通过任一曲面的磁力线的条 数称为通过这一面元的磁通量。 1穿过一面元的磁通量dyn B dom b 式中:dS=dS.称为面元矢量 B cn为法线方向单位矢量。 2.穿过某一曲面的磁通量 ds Bdscose 磁通量单位:韦伯,Wb

4 1.穿过一面元的磁通量 m d n dS dSe    ne  为法线方向单位矢量。  n e  B  dS 式中： 2.磁通量 定义:通过任一曲面的磁力线的条 数称为通过这一面元的磁通量。 d B dS m      称为面元矢量。   m  d m  BdScos   B dS   S B  d m 2.穿过某一曲面的磁通量 dS 磁通量单位：韦伯，Wb

3.穿过闭合曲面的磁通量 =手4m=手 B·dS 6 2 规定:取闭合面外法线方向为正向。 B 磁力线穿出闭合面为正通量, 磁力线穿入闭合面为负通量。 3.磁场中的高斯定理 兀"6 B 定理表述:穿过任意闭合面的磁通量等于零。 B- S=o 证明:由于磁力线为闭合曲线,穿入穿出闭合 面的磁力线根数相同,正负通量抵消 磁场中的高斯定理阐明了磁场的性质: 磁场是无源场,磁力线为闭合曲线。 5

5 3.穿过闭合曲面的磁通量 规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。  m  m  d   n e  n e  B  B  2    2    定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于零。    0  B dS m    磁场中的高斯定理阐明了磁场的性质： •磁场是无源场，磁力线为闭合曲线。 3.磁场中的高斯定理 证明：由于磁力线为闭合曲线，穿入穿出闭合 面的磁力线根数相同，正负通量抵消。   B dS  

、安培环路定理 1.定理表述 磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围的 电流代数和乘以A 数学表达式:B·=1 2.明确几点 (1)电流正负规定:电流方向与环路方向满足右手定 则时电流Ⅰ取正;反之取负。 (2)B为环路上一点的磁感应强度,不是任意点的, 它与环路内外电流都有关 (3)环路定理只适用于闭合电流或无限电流有限电流 不适用环路定理,只能用毕奥一萨伐尔定律。 (4)安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场

6 磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围的 电流代数和乘以 0。 L B dl  I 0   1.定理表述 数学表达式： (3)环路定理只适用于闭合电流或无限电流.有限电流 不适用环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定律。 (1)电流正负规定：电流方向与环路方向满足右手定 则时电流 I 取正；反之取负。 2.明确几点 (2) 为环路上一点的磁感应强度，不是任意点的， 它与环路内外电流都有关。 B  (4)安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场

特例:以无限长载流直导线为例。 长直导线周围的B线为一系列的同心圆,选取 路径方向与磁感应强度方向相同; 左边=d= Bdl cos e 由于环路上各点的磁感应强( 度大小相等;且B∥dl B 6=0.cos6=1 左边=BdU 02兀r=o 2丌r 右边=4∑I=0 左边=右边定理成立 推广到任意路径都成立,证毕

7 长直导线周围的B 线为一系列的同心圆，选取 路径方向与磁感应强度方向相同； 左边=  L Bdl cos 由于环路上各点的磁感应强 度大小相等；且   0, cos 1   L B dl   左边= r r I B dl L    2 2 0   I   0 右边=  I  I 0 0 推广到任意路径都成立，证毕。 左边=右边 定理成立。 特例：以无限长载流直导线为例。 B dl   // B L 

安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性。 利用高安培环路定理求磁感应强度的关健:根据 磁场分布的对称性,选取合适的闭合环路。 3.选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点。 (2)环路的长度便于计算; (3要求环路上各点B大小相等,B的方向与环路方向 致 目的是将:Bd=∑I写成B=∑I 或B的方向与环路方向垂直, fal B⊥d,cosO=0中Bdl=0

8 3.选取环路原则 目的是将: 或 (1)环路要经过所研究的场点。 利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据 磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 (2)环路的长度便于计算； (3)要求环路上各点 大小相等， 的方向与环路方向 一致， B  B  B的方向与环路方向垂直，  L Bdl  I 0   写成    dl I B 0 Bdl , cos 0      L B dl 0  

例1:密绕载流螺线管通有电流为Ⅰ,线圈密度为n, 求管内一点的磁感应强度。 解:理想密绕螺线管,管内的磁 场是均匀的,管外的磁场为0; B 作闭合环路αbcda,环路内的 电流代数和为:∑Ⅰ=nabI B=0 B·a=|B·d+|B·al+|B.dl+|B.dl ∫B.d=∫Bd=0.:B⊥dl,cosb=0 b 螺线管外:B小=0,B·aZ=0 B=loni Bd=B=Bb=∑I=db

9 例1：密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度为 n， 求管内一点的磁感应强度 。 ............... + + + + + + + + + + + + + + + 解：理想密绕螺线管，管内的磁 场是均匀的，管外的磁场为 0 ； 作闭合环路 abcda,环路内的 电流代数和为： a b d c B外  0   I  nabI               a d d c c b b a B dl B dl B dl B dl B dl             0  d c B dl   螺线管外：       b a B dl B dl     B nI  0  Bab nabI    0 I 0     0,   a d c b B dl B dl     l ,    B  d cos  0 B外  0,  B 

例2:圆柱形载流导体半径为R,通有电流为Ⅰ,电 流在导体横载面上均匀分布,求圆柱体内、外的磁感 应强度的分布。 解:导体内外的磁场是以中心轴线为对称分布的 1.圆柱体内部r<B区域选取半径为r的环路 环路内电流代数和为: R2 R B·dl= p Bdl cos 由于环路上各点磁感应强度大小相 等,方向与环路一致。 B∥/dl,cosb=1 10

10 2 2 r R I I       B  dl  Bdl cos    R I I R r 2 2  环路内电流代数和为： L r r < R 区域选取半径为 r 的环路， 解：导体内外的磁场是以中心轴线为对称分布的。 例2：圆柱形载流导体半径为 R ，通有电流为 I ，电 流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感 应强度的分布。 由于环路上各点 磁感应强度 大小相 等，方向与环路一致。 B // d l ,   cos  1 1.圆柱体内部