高斯定理
1 高斯定理
、电力线 用矢量一点一点表示场强的缺点: 1)只能表示有限个点场强;2)场中箭头零乱。 为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线 1.电力线规定 E E 方向:电力线上某点的切线 B 方向为该点的场强方向。 大小:通过电场中某点垂直于场强的单位面积的电力 线根数等于该点电场强度的大小 E dS⊥ E 电力线稀疏的地方场强小 ds 电力线密集的地方场强大
2 为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线。 1.电力线规定 •方向：电力线上某点的切线 方向为该点的场强方向。 •大小：通过电场中某点垂直于场强的单位面积的电力 线根数等于该点电场强度的大小。 ⊥ = dS d E A B EA EB E dS⊥ d 一、电力线 电力线稀疏的地方场强小， 用矢量一点一点表示场强的缺点： 1）只能表示有限个点场强； 2）场中箭头零乱。 电力线密集的地方场强大
2电力线形状 对等量异号电 正电荷 负电荷 荷的电力线 对异号不等量点对等量正点电荷的电力线 电荷的电力线
3 2.电力线形状 正电荷 负电荷 一对等量异号电 荷的电力线 一对异号不等量点 电荷的电力线 一对等量正点电荷的电力线
3电力线的性质 带电平行板电容器的电场 1.电力线始于正电荷(或 “∞”远),终止于负电 荷(或“∞”远),不会 在无电荷处中断,电力线 为非闭合曲线。 2在没有电荷处同一电场 两条电力线不能相交。 E 3电力线密处场强大,电力 线疏处场强小。 E 4沿电力线方向为电势降低的方向EA 说明场强的方向; 电力线 作用 说明电场的强弱 说明电场的整体分布。AB
4 带电平行板电容器的电场 +++++++++ 3.电力线的性质 1.电力线始于正电荷（或 “”远） ，终止于负电 荷（或“”远） ，不会 在无电荷处中断，电力线 为非闭合曲线。 2.在没有电荷处同一电场 两条电力线不能相交。 E1 E2 3.电力线密处场强大，电力 线疏处场强小。 4.沿电力线方向为电势降低的方向。 A B EA EB 电力线 作用： 说明场强的方向； 说明电场的强弱； 说明电场的整体分布
、电通量 定义:通过任一曲面的电力线的条数 ds 称为通过这一面元的电通量。d 6 1穿过面元dS电通量p dS面元在垂直于场强方 向的投影是dS1, ds 所以通过它的电通量等于面元S1的电通量 ds=ds cos(een)=ds cos 6 定义:面元矢量dS=dSe en为面元法线方向 单位矢量。 大小等于面元的面积,方向取其法线方向。 因此电通量:d=EdS1= eds cos(=E·dS
5 E dS dS⊥ n e 1.穿过面元dS电通量 d 定义:通过任一曲面的电力线的条数 称为通过这一面元的电通量。 dS = dS cos(E en ) = dS cos ⊥ dS dS⊥ 面元在垂直于场强方 向的投影是 ， 所以通过它的电通量等于面元 dS⊥ 的电通量, 定义：面元矢量 n dS dSe = 大小等于面元的面积，方向取其法线方向。 因此电通量：d = EdS⊥ = EdS cos E dS = 为面元法线方向 单位矢量。 n e 二、电通量 d
2穿过任意曲面的电通量 D=小=小E6 I EdS cos 0 dS有两个法线方向,dq 可正可负。 3穿过闭合曲面的电通量 i 0 E 规定:取闭合面外法线方向为正向 电力线穿出闭合面为正通量, 电力线穿入闭合面为负通量
6 2.穿过任意曲面的电通量 = S d = S E dS = S EdS cos 3.穿过闭合曲面的电通量 规定：取闭合面外法线方向为正向。 电力线穿出闭合面为正通量， 电力线穿入闭合面为负通量。 S E dS = S E d dS n e n e E E 2 2 dS有两个法线方向，dφ 可正可负
三、高斯定理 定理表述:真空中穿过静电场任一闭合曲面的电通量 等于包围在该面内的所有电荷代数和除以。与面 外电荷无关。 q 力=手E= 高斯定理可用库仑定律和叠加原理证明。(略) 1.以点电荷位于半径为闭合球 面中心为例 R E 穿过球面的电通量 左边如=乐ES=手 EdS cos e 球面上各点E大小相等, E∥dS.cosb=1 高斯面 7
7 定理表述：真空中穿过静电场任一闭合曲面的电通量， 等于包围在该面内的所有电荷代数和除以 0 。与面 外电荷无关。 0 = = 内 q E dS S 高斯定理可用库仑定律和叠加原理证明。（略） 1.以点电荷位于半径为R的闭合球 面中心为例： q R E n e 高斯面 穿过球面的电通量 = S E dS 左边 = EdS cos 球面上各点E大小相等， E // dS,cos =1 三、高斯定理
P= eis ds- eaR 4eo P2 7R2 q 右边=2q=q 左边=右边 80 & 推广:任意闭合曲面内有多个电荷都成立。 2点电荷位于闭合面外 由于闭合面内无电荷。电力线不会在闭合面内断开 穿入与穿出的电力线根数相同,正 负通量抵消 左边=4E·dS=0 右边∑q=0左边=右边
8 右边 0 = q 0 q = 左边=右边 2.点电荷位于闭合面外 推广：任意闭合曲面内有多个电荷都成立。 E 左边 = S E dS 穿入与穿出的电力线根数相同，正 负通量抵消。 = 0 = ES dS 2 = E4R 2 2 0 4 4 1 R R q = 0 q = 右边 0 = q 由于闭合面内无电荷。电力线不会在闭合面内断开， = 0 左边=右边
3点电荷系:设有1、2 k个电荷在闭合面内, k+1、k+2、…、n个电荷在闭合面外。 由场叠加原理,高斯面上的场强为: E=E1+…+Ek+Ek+1+…+En 面内电荷 面外电荷 =E6=乐+…+E+E1+…+5)△ E·dS+∵+ 任E·+乐,E⑤+…+低E ∴+k+0+…+0 =中E·dS= ∑q是指面内电荷代数和
9 3.点电荷系：设有 1、2、···、k 个电荷在闭合面内， k+1、k+2、···、n 个电荷在闭合面外。 由场叠加原理，高斯面上的场强为： E E Ek Ek En = 1 + + + +1 + + 面内电荷 面外电荷 = S E dS = + + + + + + S k k n E E E E dS ( ) 1 1 0 0 0 0 1 = ++ + ++ q qk 0 1 i k i q = = + + + S n S Ek dS E dS + 1 = + + S k S E dS E dS 1 0 = = q E dS S q 是指面内电荷代数和
明确几点: 1高斯面为闭合面 E.d=内 0 2.式中的电场强度为高斯面上某点的场强,是由空间 所有电荷产生的,与面内面外电荷都有关。 3电通量p只与面内电荷有关,与面外电荷无关 4.g=0不一定面内无电荷,有可能面内电荷等量异号。 5.0=0,不一定高斯面上各点的场强为0。 6.高斯定理反映了静电场的基本性质一静电场是有源场 四、高斯定理的应用 高斯定理为我们提供了求场强的另一种方法。但利用 高斯定理求场强要求电荷的分布具有一定的对称性。 10
10 1.高斯面为闭合面。 2. 式中的电场强度为高斯面上某点的场强，是由空间 所有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。 3.电通量 只与面内电荷有关，与面外电荷无关。 4. = 0不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号。 5. =0，不一定高斯面上各点的场强为 0。 明确几点： 0 = 内 q E dS S 高斯定理为我们提供了求场强的另一种方法。但利用 高斯定理求场强要求电荷的分布具有一定的对称性。 6. 高斯定理反映了静电场的基本性质—静电场是有源场 四、高斯定理的应用