静电场的能量
1 静电场的能量
电场是一种物质,具有物质的属性,它具有能量。 我们从电容器具有能量来说明电场的能量。 电容器带电过程可看成从一个极板 移动电荷到另一个极板的过程。 t g q 能量的来源:电容器带电过程中外力克服电E 场力所作的功转化为电容器贮存的能量。 电容器储存的能量 ⊕⊕⊕⊕ 某一瞬时,电容器所带电量为q,极 板间的电势为u。 移动dq,外力克服电场力所作的功为: ud 当电容器极板带电量从0到Q时,外力所作的总功为: ah = dA Q 外 2C 2
2 一、电容器储存的能量 电场是一种物质，具有物质的属性，它具有能量。 我们从电容器具有能量来说明电场的能量。 电容器带电过程可看成从一个极板 移动电荷到另一个极板的过程。 + q − q E u dq 能量的来源：电容器带电过程中外力克服电 场力所作的功转化为电容器贮存的能量。 移动 dq ，外力克服电场力所作的功为： dA = udq 某一瞬时，电容器所带电量为q，极 板间的电势为u。 dq C q = dqdqdq 当电容器极板带电量从 0 到Q 时，外力所作的总功为： A外 = dA = Q dq C q 0 C Q 2 2 =
q O 外 Jo 2C 外力所作的功全部转化为储存于电容器中的电能。 W=A外 Q 2C =1r21 由Q=CU有:W=9_1 Q 2C2 所以储存在电容器中的能量为:W CU2 2C2 两种观点:电荷是能量的携带者。 电场是能量的携带者一近距观点。 这在静电场中难以有令人信服的理由,在电磁波的传播 中,如通讯工程中能充分说明场才是能量的携带者
3 A外 = dA = Q dq C q 0 C Q 2 2 = 外力所作的功全部转化为储存于电容器中的电能。 C Q We A 2 2 = 外 = 2 2 1 由 Q = CU 有： = CU C Q We 2 2 = 2 2 1 = CU C Q We 2 2 = 电荷是能量的携带者。 两种观点： 电场是能量的携带者—近距观点。 这在静电场中难以有令人信服的理由，在电磁波的传播 中，如通讯工程中能充分说明场才是能量的携带者。 所以储存在电容器中的能量为： QU 2 1 =
、电场能量 以充满介质的平行板电容器为例。 d,u=ed 22a(8)2=254E"S1 e care lEEs 2 2 EV体 1 D 由D=EE有:W=-EDV 体 2 体 12 结果讨论3:W。=E体=EDV V 2 2 体2'体 电容器所具有的能量与极板间电场E和D有关,E和 D是极板间每一点电场大小的物理量,所以能量与电场 存在的空间有关,电场携带了能量
4 以充满介质的平行板电容器为例。 , 0 d S C r = U = Ed 2 2 1 We = CU 0 2 ( ) 2 1 Ed d rS = rE Sd 2 0 2 1 = E V体 2 2 1 = We EDV体 2 1 由 D E = = 有： We E V体 2 2 1 = EDV体 2 1 = V体 D 2 2 1 = V体 D 2 2 1 = 结果讨论： •电容器所具有的能量与极板间电场 和 有关， 和 是极板间每一点电场大小的物理量，所以能量与电场 存在的空间有关，电场携带了能量。 E D E D 二、电场能量
c电容器所具有的能量还与极板间体积成正比,于是可 定义能量的体密度,它虽然是从电容器间有均匀场而 来但有其普遍性 W 定义电场能量密度:ue=V 体 意义:单位体积内的电场能量 cE 2 ED、1D2 2 非均匀电场能量计算 W=Ludv 只要确定U就可计算电场能量W 强调:电容器的能量亦可由WQ° CU2计 2C2
5 •电容器所具有的能量还与极板间体积成正比，于是可 定义能量的体密度，它虽然是从电容器间有均匀场而 来但有其普遍性。 定义 电场能量密度： V体 W w e e = 意义：单位体积内的电场能量。 2 2 1 we = E ED 2 1 = 2 2 1 D = 非均匀电场能量计算 We = V wdV 只要确定 we 就可计算电场能量 We。 强调：电容器的能量亦可由 计 算。 2 2 1 = CU C Q We 2 2 =
例1:平行板电容器真空时Oo,E0,U0,D0,C0,Wo 求:①充电后断开电源,插入E r的介质;②充电后保持电压不 变,插入s的介质;这两种情况 邮,U,D,C,W 解:①断开电源后,插入介质; 1充电后断开电源极板上电量不变, e 0=0 2介质中场强E=20 ero 3电压U=Ed 插入介质后 u- Ed= Eo d- uo K Uo
6 例1：平行板电容器真空时 , , , , 0 E0 U0 D0 0 0 , C We 求： ①.充电后断开电源，插入 r 的介质； ②.充电后保持电压不 变，插入 r 的介质；这两种情况 下的 ,E,U,D, C We , r d 0 − 0 K U0 1.充电后断开电源极板上电量不变， = 0 2.介质中场强 r E E 0 = 3.电压 U0 = E0d 解： 插入介质后 U = Ed d E r 0 = r U 0 = ①断开电源后，插入 介质；
4.电位移矢量真空时D0= 插入介质后 0 0 Ee or E- or 0=6Eo D 0 由于D 断开电源后G不 变,D也不变。 5.电容 8 由于电容器电容与电量无关,与介 r 质有关,充满介质时C=1C 6能量WA2C0n2a2W 0 K 插入介质后W 2c 28, C0 or 7
7 4.电位移矢量 真空时 D0 = 0 插入介质后 D = 0 rE r r E 0 = 0 = 0 0E0 = = D0 由于 D = 0 ，断开电源后 0 不 变，D 也不变。 0 − 0 r d K U0 5.电容 由于电容器电容与电量无关，与介 质有关，充满介质时 C rC0 = 6.能量 , 2 0 2 0 0 C q We = C q We 2 2 0 = 0 2 0 2 C q r = r We 0 插入介质后 =
②充电后保持电压不变,插入G介质; 解:电压不变即电键K不断开 1电压U=U0 2场强∵U7=U Ed=Eoa,∴E=Eo 3自由电荷面密度 Oo O O三C 0 0 4.电位移矢量D D K D=G=E6。E.D Ur 8
8 解：电压不变即电键 K 不断开。 0 − 0 r d K U0 1.电压 U = U0 2.场强 U = U0 , Ed = E0d E = E0 3.自由电荷面密度 , 0 0 0 r = 0 = r ②.充电后保持电压不变，插入 r 介质； 4.电位移矢量D D0 = 0 0 = r rD0 D = =
5电容 由于电容器电容与电量无关, 与介质有关,充满介质时: 6.电容器能量W 真空时W200 We=q00=8, q e0 由于q增多而增加的能量,大 于插入介质损失的能量,所以 W也增加。 KUO
9 5.电容 由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时： C rC0 = 6.电容器能量We 0 0 0 2 1 We = q U 0 2 1 We = qU 0 0 2 1 = rq U rWe0 = 由于q增多而增加的能量，大 于插入介质损失的能量，所以 We也增加。 真空时 0 − 0 r d K U0
例2:同轴电缆由内径为R1、外径为 R2的两无限长金属圆柱面构成,单位 长度带电量分别为+4、-,其间充 有电介质。求:①两柱面间的场 强E;②电势差U;③单位长度电 容;④单位长度贮存能量。 2 解:①极板间作高为b半径为rb 的高斯柱面, 由介质中高斯定理:D△=∑ D2mh=Mh,∴D 场强F_D EE.2丌EEr 10
10 例2：同轴电缆由内径为 R1、外径为 R2的两无限长金属圆柱面构成，单位 长度带电量分别为 +、 -，其间充 有 r 电介质。求： ①两柱面间的场 强 E；②电势差 U；③单位长度电 容 ；④单位长度贮存能量。 R2 R1 − r 解： ①极板间作高为 h 半径为 r h r 的高斯柱面， 0 D dS = q D2rh = h, r D 2 = 场强 r D E 0 = rr 2 0 = 由介质中高斯定理：