麦克斯韦速率分布率
1 麦克斯韦速率分布率
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全 是偶然的,但就大量分子的整体来看,在一定的条件下 气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。这个规律 叫麦克斯韦速率分布律。 速率分布函数 按统计假设,各种速率下的分子都存在,可以用 某一速率区间内分子数占总分子数的百分比来表示分 子按速率的分布规律。 1将速率从0>∞0分割成很多相等的速率区间。 例如速率间隔取10m/s, 整个速率分为010;10—20;等区间。 2总分子数为N在→>U+△U区间内的分子数为△N 在ν→V+△区间内的概率为△N/N
2 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全 是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下， 气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。这个规律 叫麦克斯韦速率分布律。 按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用 某一速率区间内分子数占总分子数的百分比来表示分 子按速率的分布规律。 1.将速率从 0 → 分割成很多相等的速率区间。 一、速率分布函数 例如速率间隔取10m/s , 整个速率分为0—10；10—20；…等区间。 在v → v + v区间内的概率为N / N 2.总分子数为N， 在v → v + v区间内的分子数为N
2总分子数为N在U→U+△U区间内的分子数为△N 在ν→>v+△v间内的概率为△N/N 则可了解分子按速率分布的情况。 U有关,不同U附近概率不同。 △N/N与 △U有关,速率间隔大概率大 3.△U→dU速率间隔很小 该区间内分子数为dN AN NAu 在该速率区间内分子的概率 C au 写成等式dN f(udu ∧U
3 o v N v N v 则可了解分子按速率分布的情况。 N / N 2.总分子数为N， 在v → v + v区间内的分子数为N 在v → v + v区间内的概率为 N / N 与 v有关，不同 v 附近概率不同。 v 有关，速率间隔大概率大 3. v → dv 速率间隔很小 该区间内分子数为dN， 在该速率区间内分子的概率 dv N dN 写成等式 f v dv N dN = ( )
N=7()b表示分布在v→+h区间内的分 子数占总分子数的百分比(或概率) f(v)=i Nh速率分布函数 速率分布函数的物理意义:表示在速率U附近,单位 速率区间内分子数占总分子数的百分比,或单位速率 区间内分子出现的概率。 在ν→>p+bhv区间内的分子数为aN=Nf(v)lh 在→+v区间内的总速率wN=Mvf(v)hv 在v→v区间内的分子数为△N=aN=|N()hv V1 △N 在v1→>v2有限区间内的概率为 f(vdi N 在→n区间内的总速率」wN=M/()h
4 Ndv dN f (v) = f v dv N dN = ( ) 速率分布函数的物理意义：表示在速率 v 附近，单位 速率区间内分子数占总分子数的百分比，或单位速率 区间内分子出现的概率。 在v1 →v2 有限区间内的概率为 f v dv N N v v = 2 1 ( ) 速率分布函数 表示分布在 区间内的分 子数占总分子数的百分比（或概率） v →v+dv 在v → v + dv区间内的分子数为dN = Nf (v)dv 在v1 →v2 区间内的分子数为 = = 2 1 2 1 ( ) v v v v N dN Nf v dv 在v → v + dv区间内的总速率 vdN = Nvf(v)dv 在v1 →v2 区间内的总速率 = 2 1 ( ) v v vdN Nvf v dv
在→>时区间内的分子数为△N=CAN=Mm)h 在→n区间内的总速率wN=My()h 在1->v2间内的平均速率 vdN Nuf(v)di f(v)di △N Nf(vdi f(v)di 同理: v2 v Nv2 f(dv v2的yh △N Nfvdv f(vdy
5 在 v1 → v2 区间内的分子数为 = = 2 1 2 1 ( ) vv vv N dN Nf v dv 在 v1 → v2 区间内的总速率 = 2 1 ( ) vv vdN Nvf v dv : 在v1 →v2 区间内的平均速率 NvdN v = = 2 12 1 vvvv Nf(v)dv Nvf(v)dv = 2 12 1vvvv f(v)dv vf(v)dv 同理： Nv dN v = 2 2 = 2 1 2 1 2 vv vv Nf(v)dv Nv f(v)dv = 2 1 2 1 2 vv vv f(v)dv v f(v)dv
由于全部分子百分之百地分布在由0到o的整个速 率范围内, 取v1=0,n2→>,则有 归一化条件 n dN f(v) 、麦克斯韦速率分布定律 1麦克斯韦速率分布定律的内容 在平衡态下,当气体分子间的相互作用可以忽略 时,分布在任一速率区间v叶+b的分子数占总分子 数的比率为: 4丌 2kT,2 dv 2nkT
6 0 f (v)dv0, , : 取v1 = v2 → 则有 由于全部分子百分之百地分布在由0到的整个速 率范围内， = N N dN 0 = 1 归一化条件 e v dv k T m N dN kT mv v 2 2 2 3 2 2 4 − = 在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略 时，分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子 数的比率为： 二、麦克斯韦速率分布定律 1.麦克斯韦速率分布定律的内容
N=4兀 e 2k71,2 2kT 麦克斯韦速率分布函数f()2=4z m 2-mv 2k71,2 讨论: 2kT 1.f(v)U曲线 v=O时f(v)=0,U→>∞时f()→>0 2在f(U)~U曲线下的面积为该 速率区间内分子出现的概率:f(v) f(vdv dn f() y+△v △N N 0UdU+△U U7
7 e v dv k T m N dN kT mv v 2 2 2 3 2 2 4 − = ( ) 2 2 2 3 2 2 4 e v k T m f v kT −mv = 麦克斯韦速率分布函数 o dv v f(v) v v + v f(v) 1. f(v)~v曲线 讨论： v = 0时 f (v) = 0, v → 时 f(v) → 0 2.在f(v)~v曲线下的面积为该 速率区间内分子出现的概率： N N f v dv v v v = + ( ) N dN f (v)dv =
在f(U)~U整个曲线下的面积为1—归一化条件。 f() f∫(v)dhv 3最可几速率U f(u 物理意义:若把整个 速率范围划分为许多 相等的小区间,则分 布在v所在区间的分 子数比率最大
8 在f(v)~v整个曲线下的面积为 1 ----- 归一化条件。 o v f(v) f (v)dv 0 = N dN N 0 1 = =1 N N = 0 dv Ndv dN o v f(v) vp 3.最可几速率vP 物理意义：若把整个 速率范围划分为许多 相等的小区间，则分 布在 vP所在区间的分 子数比率最大
将f()对U求导,令一次导数为零,可f(u)=0 3/2 U mv f(v)=4 e2671,2 2kT 212RT -me ' 2kr m2u U-U已 0 2kT U f(u 0 2kT 2kT 最可几速率:U= ↓y N 和Mno=NA 2kT 2RT 2RT rT mol mol
9 o v f(v) vp 将 f(v) 对 v 求导，令一次导数为零， 0 ( ) = dv df v 2 2 3/ 2 2 2 ( ) 4 e v k T m f v kT m v − = − − e v mv kT 2 /2 2 0 2 2 2 / 2 2 = − kT m v v e mv kT 0 2 1 2 − = kT mv m kT vp 2 最可几速率： = 由 NA R k = 和 Mmol = NA m m kT vp 2 = mNA 2RT = Mmol 2RT = Mmol RT =1.41
讨论: f(u 2kT 1)Up与温度T的关系 T个>υ,个 T T >T 曲线的峰值右移,由 U O 2 于曲线下面积为1不变, f(u 所以峰值降低。 2)vp与分子质量m的关系 m↑→u√mn2>m 曲线的峰值左移,由 于曲线下面积为1不变, 所以峰值升高。 U o p2 pI 10
10 讨论： 1）vP与温度 T的关系 m kT v p 2 = T → v p 曲线的峰值右移 , 由 于曲线下面积为 1不变， 所以峰值降低。 T2 T1 o v f(v)vp1 vp2 T2 T1 o v f(v) vp1 vp2 m2 m1 m →vp 曲线的峰值左移 , 由 于曲线下面积为 1不变， 所以峰值升高。 m 2 m 1 2） v P 与分子质量 m的关系