圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 §15晶体的宏观对称性 晶体在几何外形上表现岀明显的对称性,同时这些对称性性质也在物理性质上得以体现。 介电常数可以表示为一个二阶张量:EaB(a,B=x,y,2) 电位移分量D=∑EE 可以证明对于立方对称的晶体:Ea=505a--对角张量 所以:D=E-—介电常数可以看作一个简单的标量。 在六角对称的晶体中,如果将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内, 00 介电常数具有如下形式:060 00E⊥ 对于平行轴(六角轴)的分量En:Dn=EnE 对于垂直于轴(垂直于六角轴的平面)的分量E1:D1=E⊥E 正是由于六角晶体的各向异性,而具有光的折射现象。而立方晶体的光学性质则是各向同性的。 原子的周期性排列形成晶格,不同的晶格表现出不冋的宏观对称性,怎样描述晶体的宏观对称性? 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。 在三维情况下,正交变换表示为 cos e 6 au a1 a1 y=sin 6.x+cos 6.y 12a2a23‖y P(x",y") 矩阵{an},1j=1,2,3是正交矩阵。 P(x',y") 如图XCH001062所示,绕z轴转θ角的正交矩 XCH001062 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 §1.5 晶体的宏观对称性 晶体在几何外形上表现出明显的对称性，同时这些对称性性质也在物理性质上得以体现。 —— 介电常数可以表示为一个二阶张量：ε (α, β = x, y, z) αβ —— 电位移分量 = ∑ β α αβ β D ε E 可以证明对于立方对称的晶体： αβ δ αβ ε ε = 0 ——对角张量 所以： D E K K 0 = ε —— 介电常数可以看作一个简单的标量。 在六角对称的晶体中，如果将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内， 介电常数具有如下形式： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⊥ ⊥ ε ε ε 0 0 0 0 0 0 // 对于平行轴（六角轴）的分量 E// ： D// //E// = ε 对于垂直于轴（垂直于六角轴的平面）的分量 E⊥ ： D⊥ = ⊥ E⊥ ε 正是由于六角晶体的各向异性，而具有光的折射现象。而立方晶体的光学性质则是各向同性的。 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性，怎样描述晶体的宏观对称性？ 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。 在三维情况下，正交变换表示为： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ z y x a a a a a a a a a z y x z y x 13 13 33 12 22 23 11 12 13 ' ' ' —— 矩阵{aij}, i, j =1, 2, 3是正交矩阵。 —— 如图 XCH001_062 所示，绕 z 轴转θ角的正交矩 REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 cos0 -sine 0 阵:sin 100 中心反演的正交矩阵:0-10 00-1 个变换为空间转动,矩阵行列式等于+1; 一变换为空间转动加中心反演,矩阵行列式等于-1。 一个物体在某一个正交变换下保持不变,称之为物体的一个对称操作,物体的对称操作越多,其对 称性越高 1立方体的对称操作 1)绕三个立方轴转动:五,x,,共有9个对称操作;如图XCH0102601所示。 2)绕6条面对角线轴转动丌,共有6个对称操作;如图XCH00102602所示。 3)绕4个立方体对角线轴转动 共有8个对称操作;如图XCH00102603所示。 XCH001056 00 4)正交变换010也是一个对称操作 5)以上24个对称操作加中心反演仍是对称操 作 立方体的对称操作共有48个。标 记如图XCH001056所示。 (a) (b) REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 阵： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 θ θ θ θ —— 中心反演的正交矩阵： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0 0 1 0 1 0 1 0 0 —— 一个变换为空间转动，矩阵行列式等于＋1； —— 变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1。 一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，其对 称性越高。 1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动： 2 3 , , 2 π π π ，共有 9 个对称操作；如图 XCH001_026_01 所示。 2) 绕 6 条面对角线轴转动π ，共有 6 个对称操作；如图 XCH001_026_02 所示。 3) 绕 4 个立方体对角线轴转动 3 4 , 3 2π π ，共有 8 个对称操作；如图 XCH001_026_03 所示。 4) 正交变换 也是一个对称操作； ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5) 以上 24 个对称操作加中心反演仍是对称操 作 —— 立方体的对称操作共有 48 个。标 记如图 XCH001_056 所示。 REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃第一章固体构_20050406 2正四面体的对称操作 四个原子位于正四面体的四个顶角上,显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。 如图XCH001027所示。 1)绕三个立方轴转动:丌,共有3个对称操作; 2)绕4个立方体对角线轴转动224x 共有8个对称操作; XCH0O1 027 B 3)正交变换010也是一个对称操作; 001 4)绕三个立方轴转动:23 ,加上中心反演,共有6个对 称操作 5)绕6条面对角线轴转动丌,加上中心反演,共有6个对称 操作; 因此正四面体的对称操作共有24个。 3正六面柱的对称操作 n2丌 4丌5丌 1)绕中心轴线转动 共有5个对称操作;如图XCH001028所示 2)绕对棱中点连线转动丌,共有3个对称操作; 3)绕相对面中心连线转动丌,共有3个对称操作 4)正交变换010也是一个对称操作 00 5)以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作 因此正六面柱的对称操作共有24个 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 2 正四面体的对称操作 四个原子位于正四面体的四个顶角上，显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。 如图 XCH001_027 所示。 1) 绕三个立方轴转动： π ，共有 3 个对称操作； 2) 绕 4 个立方体对角线轴转动 3 4 , 3 2π π ，共有 8 个对称操作； 3) 正交变换 也是一个对称操作； ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 4) 绕三个立方轴转动： 2 3 , 2 π π ，加上中心反演，共有 6 个对 称操作； 5) 绕 6 条面对角线轴转动π ，加上中心反演，共有 6 个对称 操作； 因此正四面体的对称操作共有 24 个。 3 正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动： 3 5 , 3 4 , , 3 2 , 3 π π π π π ，共有 5 个对称操作；如图 XCH001_028 所示。 2) 绕对棱中点连线转动π ，共有 3 个对称操作； 3) 绕相对面中心连线转动π ，共有 3 个对称操作； 4) 正交变换 也是一个对称操作； ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5) 以上 12 个对称操作加中心反演仍是对称操作 因此正六面柱的对称操作共有 24 个。 REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 4对称素 为简洁明了地概括一个物体的对称性,不去一一列举所有的对称操作,而是描述它所具有的“对称 素”。对称素就是一个物体的旋转轴,以及旋转一反演轴 一个物体绕某一个转轴转动——,以及其倍数不变时,称该轴为物体n重旋转轴,计为n。 一个物体绕某一个转轴转动——加上中心反演的联合操作,以及其联合操作的倍数不变时,称该轴 为物体n重旋转一反演轴轴,计为n。 ★立方体 立方轴(,兀,3)为4重轴,计为4:同时也是4重旋转一反演轴,计为4 面对角线(丌)为2重轴,计为2;同时也是2重旋转-反演轴,计为2 体对角线轴(42 )为3重轴,计为3;同时也是3重旋转一反演轴,计为3; XCHOOI 029 ★正四面体 0- 立方轴是4重旋转一反演轴,但不是4重轴 A 面对角线是2重旋转一反演轴,但不是2重轴; 体对角线轴是3重轴,但不是3重旋转一反演轴。 ★对称素2,它的含义:先绕轴转动丌,再作中心反演,如图ⅹCH001029所示。A点实际上是A 点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像,表明对称素2存在一个对称面M。所以称对称素2为镜 面,用m,OrG表示 ★对称操作群 个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 5群的基本知识 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 4 对称素 为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举所有的对称操作，而是描述它所具有的“对称 素”。对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转－反演轴。 一个物体绕某一个转轴转动 n 2π ，以及其倍数不变时，称该轴为物体 n 重旋转轴，计为 n。 一个物体绕某一个转轴转动 n 2π 加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时，称该轴 为物体 n 重旋转－反演轴轴，计为 n 。 + 立方体 —— 立方轴（ 2 3 , , 2 π π π ）为 4 重轴，计为 4；同时也是 4 重旋转－反演轴，计为 4 ； —— 面对角线（π ）为 2 重轴，计为 2；同时也是 2 重旋转－反演轴，计为 2 ； —— 体对角线轴（ 3 4 , 3 2π π ）为 3 重轴，计为 3；同时也是 3 重旋转－反演轴，计为 3； + 正四面体 —— 立方轴是 4 重旋转－反演轴，但不是 4 重轴； —— 面对角线是 2 重旋转－反演轴，但不是 2 重轴； —— 体对角线轴是 3 重轴，但不是 3 重旋转－反演轴。 + 对称素 2 ，它的含义：先绕轴转动π ，再作中心反演，如图 XCH001_029 所示。A’’点实际上是 A 点在通过中心垂直于转轴的平面 M 的镜像，表明对称素 2 存在一个对称面 M。所以称对称素 2 为镜 面，用 m, or σ 表示。 + 对称操作群 —— 一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 5 群的基本知识 REVISED TIME: 05-9-29 - 4 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃第一章固体构_20050406 群代表一组“元素”的集合,G={E,AB、C,D……}这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”,满足下 列性质 1)集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素,即,若A,B∈G则AB=C∈G叫倣群 的封闭性。 2)存在单位元素E,使得所有元素满足:AE=A 3)对于任意元素A,存在逆元素A,有:AA=E 4)元素间的“乘法运算”满足结合律:A(BC)=(AB)C ★几个简单的群 1)所有正实数(0除外)的集合,以普通乘法为运算法则,组成正实数群。 2)所有整数的集合,以加法为运箅法则,组成整数群 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义,其运算法则就是连续操作。 单位元素:不动操作 任意元素的逆元素:绕转轴θ角度,其逆操作为绕转轴-θ角度;中心反演的逆操作仍是中心反演; 连续进行A和B操作,相对于C操作,如图XCH001030 所示。 2π/3 A操作:绕OA轴转动-,S点转到T点; B操作:绕OC轴转动,T点转到S点 XCHOOI 030 上述操作中S和O没动,而T点转动到T点。相当于一个操作C:绕OS轴转动 表示为:C=BA一群的封闭性 可以证明:A(BC)=(AB)C一满足结合律 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 群代表一组“元素”的集合，G≡{E,A,B,C,D……}这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下 列性质： 1) 集合 G 中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素，即，若 A, B ∈ G, 则 AB=C ∈ G. 叫做群 的封闭性。 2) 存在单位元素 E, 使得所有元素满足：AE = A 3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E 4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C + 几个简单的群 1) 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为运算法则，组成正实数群。 2) 所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群。 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则就是连续操作。 单位元素：不动操作 任意元素的逆元素：绕转轴θ 角度，其逆操作为绕转轴 −θ 角度；中心反演的逆操作仍是中心反演； 连续进行 A 和 B 操作，相对于 C 操作，如图 XCH_001_030 所示。 A 操作：绕 OA 轴转动 2 π ，S 点转到 T’点； B 操作：绕 OC 轴转动 2 π ，T’点转到 S 点； 上述操作中 S 和 O 没动，而 T 点转动到 T’点。相当于一个操作 C：绕 OS 轴转动 3 2π 表示为：C = BA —群的封闭性 可以证明： A(BC) = (AB)C －满足结合律 REVISED TIME: 05-9-29 - 5 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 6立方对称晶体的介电系数 α,β表示沿X,Y,Z轴的分量,选取X,Y,Z轴为立方体的 三个立方轴方向。如图XCH001037所示 Y↑E X XCHOOI 037 E 假设电场E沿Y轴方向:E,=E,Ex=E:=0 D E D=∑E,D=|6n6n,EE, D E=八E 可以写成:D=6E,D,=5nE,D:=EE 现将晶体和电场同时绕Y轴转动丌,D也作相应的转动。如图XCm001037所示。 2→x,x→>-2,y→y:D=D=EE,D,=D,=EE,D:=-D-=-EE 该转动的实施,电场没有变,同时又是一个对称操作,晶体转动前后没有任何差别。 应有:D=D,即D2=D2,ExE=EnE,D2=D2,-EnE=EE 得到 和 表明:E=E=0 同样如果电场沿Z方向,晶体和电场绕Z轴转动一,如图XCH001_03701所示。 可以得到:E=E=0 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 6 立方对称晶体的介电系数 = ∑ β α αβ β D ε E ， αβ βα ε = ε —— α, β 表示沿 X，Y，Z 轴的分量，选取 X，Y，Z 轴为立方体的 三个立方轴方向。如图 XCH001_037 所示。 假设电场 E K 沿 Y 轴方向： Ey = E, Ex = Ez = 0 = ∑ β α αβ β D ε E ， x xx xy xz y yx yy yz z zx zy zz D E D E D E εεε ε ε ε ε ε ε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ x y z ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 可以写成： Dx = ε xyE ， Dy = ε yyE ， Dz = ε zyE 现将晶体和电场同时绕 Y 轴转动 2 π ， D K 也作相应的转动。如图 XCH001_037 所示。 z → x, x → −z, y → y ： D' x = Dz = ε zyE ， D' y = Dy = ε yyE ， D'z = −Dx = −ε xyE 该转动的实施，电场没有变，同时又是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别。 应有： D D ，即 K K '= D' x = Dx , ε xyE = ε zyE ， D'z = Dz , − ε xyE = ε zyE 得到： xy zy ε = ε 和 xy zy ε = −ε —— 表明：ε xy = ε zy = 0 同样如果电场沿 Z 方向，晶体和电场绕 Z 轴转动 2 π ，如图 XCH001_037_01 所示。 可以得到：ε xy = ε yz = 0 REVISED TIME: 05-9-29 - 6 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章固体构_20050406 所以D Y R=x,y,2 (111) Dr 00∥E D 00 E 再取电场方向沿[1向,如图XCH001037_02所示。 E=E=E=EE 则有:D4=Emx5E,D,=Ey5E,D:==E 绕[1轴转动 2→x,x→y,y→2 电位移矢量变成:Dx=D2=E=÷=E,D,y=D=Ex÷E,D2=D,=5y=E 实施转动后,电场未变,晶体经历一个电场操作:D=D 所以 在立方晶体中:m=6,m=|050--D=4E 00 一个正四面体也具有以上的对称操作,因此,对于正四面体晶体上述结论亦然成立。此外关于介电 常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形式的宏观性质:如导电率、热导率……等。 上述结果的另外一种证明方法 设对称操作对应的正交变换:A=a12a2a2.且有:A*=A a1 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 所以 α αα α D = ε E ，α = x, y, z ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ z y x zz yy xx z y x E E E D D D ε ε ε 0 0 0 0 0 0 再取电场方向沿[111]方向，如图 XCH001_037_02 所示。 Ex Ex Ex E 3 1 = = = 则有： Dx xx E Dy yy E Dz zz E 3 1 , 3 1 , 3 1 = ε = ε = ε 绕[111]轴转动 3 2π ： z → x, x → y, y → z 电位移矢量变成： D x Dz zz E D y Dx xx E D z Dy yy E 3 1 , ' 3 1 , ' 3 1 ' = = ε = = ε = = ε 实施转动后，电场未变，晶体经历一个电场操作： D D K K '= 所以： 0 ε = ε = ε = ε xx yy zz 0 0 0 0 0 0 0 0 0 αβ ε ε ε ε ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ D E0 = ε K K 在立方晶体中： αβ δ αβ ε ε = 0 ， —— 一个正四面体也具有以上的对称操作，因此，对于正四面体晶体上述结论亦然成立。此外关于介电 常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导率……等。 —— 上述结果的另外一种证明方法 设对称操作对应的正交变换： ，且有： 11 12 13 12 22 23 13 13 33 a a a A a a a aaa ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ 1 * − A = A REVISED TIME: 05-9-29 - 7 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃第一章固体构_20050406 E112E13 介电常数:E=|E122523 在坐标变换下:E=Af,E=As+,cm=∑ana 因为A为对称变换:E=E,En=∑ana5 对于立方晶体:选取对称操作A为绕Z轴旋转 an2 sin 2 COs >t 0 A=100.代入cm=∑aa1得到:5=6,E2=E1=0 进一步选择其它的对称操作,最后得到:En=E0 对于n阶张量形式的物理量,其系数可以用n阶张量来表示:Tx 在坐标变换下:T=∑aa1a1…Tm 如果A为对称操作:T…=T,这样可以简化n阶张量。 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 介电常数： 11 12 13 12 22 23 13 13 33 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ —— 在坐标变换下： ， 1 ' − ε = AεA ε '= AεA*， = ∑ ij a i a j ij ε ε αβ α β ' 因为 A 为对称变换：ε = ε ' ， = ∑ ij a i a j ij ε ε αβ α β 对于立方晶体：选取对称操作 A 为绕 Z 轴旋转 2 π —— 11 12 13 12 22 23 13 13 33 cos sin 0 2 2 sin cos 0 2 2 0 0 a a a A a a a a a a π π π π ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 A ，代入 = ∑ 得到： ij a i a j ij ε ε αβ α β 12 21 21 12 ε ε ε ε = − = ， 0 ε 12 = ε 21 = 进一步选择其它的对称操作，最后得到： ij δ ij ε ε = 0 对于 n 阶张量形式的物理量，其系数可以用 n 阶张量来表示：Trst…… 。 在坐标变换下： ∑ …… …… …… …… rst T ijl ＝ aira jsalt Trst ' 如果 A 为对称操作：T' ijl…… ＝Tijl…… , 这样可以简化 n 阶张量。 REVISED TIME: 05-9-29 - 8 - CREATED BY XCH