北京大学：《电磁学》第四章 电磁介质——电磁能

躐能p2924-63、67、69、72 点电荷之间的相互作用能 电荷连续分布情形的静电能 电场的能量和能量密度 电荷或电荷组在外电场中的能量 磁场的能量和能量密度

电磁能 p292 4-63、67、69、72 点电荷之间的相互作用能 电荷连续分布情形的静电能 电场的能量和能量密度 电荷或电荷组在外电场中的能量 磁场的能量和能量密度

忘电荷之间的互作用能 ■定义静电能为零的状态 设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小 单元,最初认为它们分散在彼此相距很远的位 置上,规定这种状态下系统的静电能为零。 W=0 ■静电能w: 把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现 有带电体系时外力抵抗电场力所做的全部功 ■A=A(电场力做功) 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 点电荷之间的相互作用能 ◼ 定义静电能为零的状态 ◼ 设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小 单元，最初认为它们分散在彼此相距很远的位 置上，规定这种状态下系统的静电能为零。 ——We =0 ◼ 静电能We： ◼ 把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现 有带电体系时外力抵抗电场力所做的全部功 ◼ A’=-A （电场力做功）

I2 两个点电荷的情形 M N ■先移动q1到M点, 外力不做功 ■再移动q,到N点 外力做功 q单独存在 时N的点电势 A=-4 F12·dl Er di=gU ˉ交换移动次序可得 q2单独存在时 M点的电势 A"=-A 2l·C 2·C q1 q2U1=a1.1q9→f="9单独存在时 4丌Er 处的电势 系统的静电能W 41q2 4兀Er2 (q1U2+q2U1) q2单独存在时 2005.5 北京大学物理学院王稼军编 在q处的电势

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 两个点电荷的情形 ◼ 先移动q1 到M点，———外力不做功 ◼ 再移动q2 到N点，———外力做功 2 1 1 2 A' A F12 dl q E dl q U N N = − = −  =  =     q1 单独存在 时N的点电势 ◼交换移动次序可得 1 2 2 1 A'' A F21 dl q E dl qU N N = − = −  =  =     q2单独存在时 M点的电势 ' '' 4 1 1 2 0 2 1 1 2 A A r q q q U = q U =  =   ◼系统的静电能 ( ) 2 1 4 1 1 2 2 1 1 2 0 q U q U r q q We = = +   q1单独存在时q2 处的电势 q2单独存在时 在q1处的电势

多个点电荷的情形 把无限分散的多个点电荷逐个从无穷远移至相 应位置,计算外力所做的功 代表第 A1=0,A 3 个电荷在 第个电 An=9(Un+U2n+…+Un1n)→A=q∑U 荷所在位 置P处产 生的电势 Un=U1(P)=-「Ed I g 4IE ˉ点电荷 A=A1+2+43+…+n=∑ 4 组的总 功应为 ∑9∑ 91 9 ∑∑、( 月4兀=1 2005.5 尔人子韧理子阮土牛 LP2664,106式

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 多个点电荷的情形 ◼ 把无限分散的多个点电荷逐个从无穷远移至相 应位置，计算外力所做的功  − = = + + + −  = = = = + 1 1 1 2 1, 1 2 2 1 2 3 3 1 3 2 3 ' ( ) ' ' 0, ' , ' ( ) i j n n n n n n i i U j i A q U U U A q A A q U A q U U     = = −  = Pi i j i j i j i j r q U U P E dl 4 0 1 ( )   代表第j 个电荷在 第i 个电 荷所在位 置Pi处产 生的电势 ◼点 电 荷 组的总 功应为 (1) 4 1 ' ' ' ' ' ' 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 3     = − = − = = = = = = + + + + = n i i j j i i j i j j i n i i n i n i r q q q U A A A A A A    P266 4.106式

第二种表达式 可以证明,静电能值与电荷移动的次序无关 l Uv=q, U, I g, q q U=qU=(qU+qU) 4兀 4.107 4=∑q∑U=。∑ 8丌E ∑ qi g (2) 0=lj=1,j U=U(P) 4丌 j=1,j≠ 4.108 4 U:除点电荷i外其它 点电荷单独存在时q1A"= 所在处的电势总和 2 ∑qU,(3) 2005.5 北京大学物理字院王榢车绲

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 第二种表达式 ◼ 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关 i j i j j i j i j i r q q q U qU 0 4 1   = = ( ) 2 1 qj Ui j = qi U j i = qj Ui j + qi U j i (2) 8 1 2 1 ' 1 1, 0 1 1,     = =  = =  =         = n i n j j i j i i j n j j i j i n i i r q q A q U   =  = = n j j i j i j i i r q U U P 4 0 1, 1 ( )   Ui :除点电荷i外其它 点电荷单独存在时qi 所在处的电势总和 (3) 2 1 ' 1 = = n i A qi Ui 4.108 4.107

点电荷组的静电势能 点电荷组的静电势能W等于电场力所做的功A 相应的表达式为p266(4109)、(4110)、(41 q, 9 ∑q∑"=∑q∑Un(I 24兀x1=1〃 qiqi 8丌E ∑∑ ≠l U:除点电荷其它点电 W=∑ (3)荷单独存在时q所在处 的电势总和 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 点电荷组的静电势能 ◼ 点电荷组的静电势能We等于电场力所做的功A’ ◼ 相应的表达式为p266(4.109)、(4.110)、(4.111) (1) 4 1 1 1 1 1 0 1 1     − = = − = = = = i j j i n i i i j j i i j n i e i q U r q q W q   (2) 8 1 0 1 1,   = =  = n j j i j i i j n i e r q q W   (3) 2 1 1 = = n i We qi Ui Ui :除点电荷i外其它点电 荷单独存在时qi 所在处 的电势总和

电同续分命情 形的静电能 (3) 2 ■将上式推广到电荷连续分布的情形,假定电荷是体 分布,体密度为p,把连续分布的带电体分割成许 多电荷元,其电量△q=P△V,则有 W=∑△VU1A1-)0 总静电能 不是相互 作用能 →D、1 带电体各部分电荷 2JJJpedy (4)在积分处的总电势 x0362面电荷:m1 线电荷:W =2J06 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 电荷连续分布情 形的静电能 ◼ 将上式推广到电荷连续分布的情形，假定电荷是体 分布，体密度为e，把连续分布的带电体分割成许 多电荷元，其电量qi=eVi，则有 (3) 2 1 1 = = n i We qi Ui (4) 2 1  We = e UdV 带电体各部分电荷 在积分处的总电势 总静电能 不是相互 作用能 =   i We e Vi Ui 2 1 Vi ⎯→0 We e Udl We e U dS   =  =  2 1 2 1 线电荷： ；面电荷：

电场的能墨和能星密度 体电荷W.=2面电荷:W.= o Uds ■从公式看,静电能仅对其中包含电荷的体积或面 积进行,在其他地方,积分等于零 ■是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域? 以平行板电容器为例说明 板间电压 极板上 的电量W=2 0SEd=DESd=1DE体积为v L内的W 电能密度:单位体积内的电能 DE=-D·E 普遍|W 适用 前nr2 d, edv D=EEE→=-0E2 2005能量定域于场中 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编e = DE = D E 2 1 2 1  电场的能量和能量密度 ◼ 从公式看，静电能仅对其中包含电荷的体积或面 积进行，在其他地方，积分等于零 ◼ 是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？ ◼ 以平行板电容器为例说明   We = e UdV We =  e UdS 2 1 2 1 体电荷： ；面电荷： We Q U SEd DESd DEV 2 1 2 1 2 1 2 1 = 0 =  0 = = 极板上 的电量 板间电压 体积为 V 内的W ◼电能密度：单位体积内的电能 D =  0  E   We = e dV = D  EdV 2 1 普 遍  适用 能量定域于场中 2 0 2 1  e =  E

例题 ■例题15:p267 例题二:两个半径为R1,R2的同心球壳, 均匀带电,电量分别为Q1、Q2求带电体 系的相互作用能 ■例题三:求原子核静电能—近似模型为 均匀带电球体,半径为R,带电量为Q,球 外真空 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 例题 ◼ 例题15：p267 ◼ 例题二：两个半径为R1，R2的同心球壳， 均匀带电，电量分别为 Q1、Q2 ,求带电体 系的相互作用能 ◼ 例题三：求原子核静电能——近似模型为 均匀带电球体，半径为R，带电量为Q，球 外真空

电简电简组定外电场中的能墨 电荷或电荷组(最简单的是偶极子)在其他带 电体产生的电场(外场)中具有电势能 个电荷在外电场中的电势能 W(P)=qU(P) 外场中P点的电势 个电偶极子在外电场中的电势能 W=-qU(r)+qu(r+D) U(r+1)=U()+ al U(r+l =U(r)+lVU w=gl VU=P VU=-p E(r)=-pE coS 0 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 电荷或电荷组在外电场中的能量 ◼ 电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带 电体产生的电场（外场）中具有电势能 ◼ 一个电荷在外电场中的电势能 W (P) = qU(P) 外场中P点的电势 ◼一个电偶极子在外电场中的电势能 W = −qU(r) + qU(r + l) U(r)  U (r l )   + l l U U r l U r   ( + ) = ( ) + = U(r) + l U W = ql U = PU = − p  E(r) = − pE cos