圉体物理学_黄晃第一章品体构_20050406 §1.2晶格的周期性 1.晶格周期性的描述一原胞和基矢 晶格的共同特点是具有周期性,可以用原胞和基矢来描述。 XCH00l01● ★原胞:一个晶格中最小重复单元(体积最小) 如图XCH001011所示。 ★基矢:原胞的边矢量,三维格子的重复单元是平 行六面体,a1,a2,a3是重复单元的边长天量 ★单胞(结晶学元胞):为了反映晶格的对称性, Primitive cell 常取最小重复单元的几倍作为重复单元。 单胞的边在晶轴方向,边长等于该方向上的一个周期,代表单胞三个边的矢量称为单胞的基矢。 ★基矢:a,b,C表示单胞的基矢。在一些情况下,单胞就是原胞,而在一些情况下,单胞不是原胞。 例如面心立方晶格,如图XCH00l013所示。 Face-Centered Cube a XCHOOI 012 XCH0O1 013 原胞基矢:a2=2(k+),原胞的体积=a1(a2×a)24 单胞基矢:b=q,单胞的体积V=a·(b×c)=a ak REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 晶体结构_20050406 § 1.2 晶格的周期性 1. 晶格周期性的描述 — 原胞和基矢 晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述。 + 原胞：一个晶格中最小重复单元（体积最小） 如图 XCH001_011 所示。 + 基矢：原胞的边矢量，三维格子的重复单元是平 行六面体， a1, a2 , a3 是重复单元的边长矢量 K K K K K K + 单胞（结晶学元胞）：为了反映晶格的对称性， 常取最小重复单元的几倍作为重复单元。 单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期，代表单胞三个边的矢量称为单胞的基矢。 + 基矢：a,b,c 表示单胞的基矢。在一些情况下，单胞就是原胞，而在一些情况下，单胞不是原胞。 例如面心立方晶格，如图 XCH001_013 所示。 原胞基矢： ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 3 2 1 i j a a k i a a j k a a K K K K K K K K K = + = + = + , 原胞的体积 3 1 2 3 4 1 V = a ⋅(a ×a ) = a K K K 单胞基矢： c ak b aj a ai K K K K K K = = = ，单胞的体积V 3 = a ⋅(b ×c) = a K K K REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章晶体构_20050406 简单晶格 简单晶格中,某一个原胞只包含一个原子,所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。碱 金属具有体心立方晶格结构;Au、Ag和Cu具有面心立方晶格结构,它们均为简单晶格。 ★简单立方晶格 如图XCH001_012所示,原胞为简单立方晶格的立方单元,基矢:a1=ai,a2=可,a3=ak 原胞体积:V=a1·(a2×a3)=a3一-原胞中只包含一个原子。 XCH0O1 007 Face-Centered Cube XCHODI 013 ★面心立方晶格 如图XCH001_007和XCH001_013所示,八个顶角上各有一个原子,六个面的中心有6个原子故称 面心立方。 由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢:a1,a2,a3 a1=(+k 基矢:a2=(k+1),原胞的体积V=a1(a2xa3)=a,原胞中只包含一个原子。 ★体心立方晶格 体心立方:除顶角上有原子外,还有一个原子在立方体的中心,故称体心。就整个空间的晶格来看 完全可把原胞的顶点取在原胞的体心上。这样心就变成角,角也就变成心。如图XCH001014所示 由立方体的中心到三个顶点引三个基矢:a1,a2,a3 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 晶体结构_20050406 2. 简单晶格 简单晶格中，某一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。碱 金属具有体心立方晶格结构；Au、Ag 和 Cu 具有面心立方晶格结构，它们均为简单晶格。 + 简单立方晶格 如图 XCH001_012 所示, 原胞为简单立方晶格的立方单元，基矢： 1 2 3 a a = = i , , a aj a = ak K K K K K K 原胞体积：V 3 1 2 3 = a ⋅(a × a ) = a K K K —— 原胞中只包含一个原子。 + 面心立方晶格 如图 XCH001_007 和 XCH001_013 所示，八个顶角上各有一个原子，六个面的中心有 6 个原子故称 面心立方。 由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢： 1 2 3 a , a , a K K K 基矢： ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 3 2 1 i j a a k i a a j k a a K K K K K K K K K = + = + = + ，原胞的体积 3 1 2 3 4 1 V = a ⋅(a ×a ) = a K K K ，原胞中只包含一个原子。 + 体心立方晶格 体心立方：除顶角上有原子外，还有一个原子在立方体的中心，故称体心。就整个空间的晶格来看， 完全可把原胞的顶点取在原胞的体心上。这样心就变成角，角也就变成心。如图 XCH001_014 所示。 由立方体的中心到三个顶点引三个基矢： 1 2 3 a , a , a K K K REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章晶体构_20050406 Body-Centered Cube XCH001003 XCH001014 a +j+k) 基矢:a2=(-j+k),=a1(a2×a3)= 所以包含一个原子。 3复式晶格 复式格子包含两种或两种以上的等价原子。 种是不同原子或离子构成的晶体,如:NaCl、CsCl、ZnS等 一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体,如:具有金刚石结构的C、Si、Ge以及具有 六角密排结构的Be、Mg、Zn等 复式格子的特点:不同等价原子各自构成相冋的简单晶格(子晶格),复式格子由它们的子晶格相套 而成 ★NaC由Na和Cl结合而成(如图XCH001009所示。),是一种典型的离子晶体,Na'构成一个面 心立方晶格;C也构成相同的一个面心立方晶格。两个面心立方子晶格各自的原胞具有相同的基矢, 由它们相套形成NaC复式晶格。 Crystal Structure of Nacl XCH001009 XCH00100901 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 晶体结构_20050406 基矢： ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 3 2 1 i j k a a i j k a a i j k a a K K K K K K K K K K K K = − + = − + = − + + , 3 1 2 3 2 1 V = a ⋅(a × a ) = a K K K —— 所以包含一个原子。 3, 复式晶格 复式格子包含两种或两种以上的等价原子。 一种是不同原子或离子构成的晶体，如：NaCl、CsCl、ZnS 等； 一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体，如：具有金刚石结构的 C、Si、Ge 以及具有 六角密排结构的 Be、Mg、Zn 等； 复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格（子晶格），复式格子由它们的子晶格相套 而成。 + NaCl由Na+ 和Cl－ 结合而成（如图XCH001_009 所示。），是一种典型的离子晶体，Na+ 构成一个面 心立方晶格；Cl－ 也构成相同的一个面心立方晶格。两个面心立方子晶格各自的原胞具有相同的基矢， 由它们相套形成NaCl复式晶格。 REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章晶体构_20050406 ★Csl结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1/2的长度套构而成。如图 XCHo0l010所示 XCHOOI 010 01 Crystal Structure of CsCl XCH001_010 ★立方系的硫化锌(ZnS):硫和锌分别组成面心立方结构的子晶格而沿空间对角线位移1/4的长 度套构而成。如图XCH001044所示 · XCHO0104401 ★钛酸钡(BaTO3)的整个晶格是由Ba、T和Ol、OH、OH各自组成的简立方结构子晶格 (共5个)套构而成的。如图XCH001038所示 Crystal Cell XCHO01 o15 of BatiO3 DOI Beryllia ollI B 复式格子的原胞:即是相应简单晶格的原胞,一个原胞中包含各种等价原子各一个。如钛酸钡原胞 可以取简单立方体,立方体中包含3个不等价的O原子、一个Ba原子和一个T原子,共五个原子。 ★六角密排晶格的原胞基矢选取,如图XCH00l015所示,一个原胞中包含A层和B层原子各一 个,共两个原子 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 晶体结构_20050406 + CsCl 结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移 1／2 的长度套构而成。如图 XCH001_010 所示。 + 立方系的硫化锌（ZnS）：硫和锌分别组成面心立方结构的子晶格而沿空间对角线位移 1／4 的长 度套构而成。如图 XCH001_044 所示。 + 钛酸钡（BaTiO3）的整个晶格是由 Ba、 Ti和 OI、 OII、 OIII各自组成的简立方结构子晶格 （共 5 个）套构而成的。如图XCH001_038 所示。 复式格子的原胞：即是相应简单晶格的原胞，一个原胞中包含各种等价原子各一个。如钛酸钡原胞 可以取简单立方体，立方体中包含 3 个不等价的 O 原子、一个 Ba 原子和一个 Ti 原子，共五个原子。 + 六角密排晶格的原胞基矢选取，如图 XCH001_015 所示，一个原胞中包含 A 层和 B 层原子各一 个，共两个原子。 REVISED TIME: 05-9-29 - 4 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章晶体构_20050406 2-dimensions primitive cell of Wingner-Seitz 补充例题001试做出简单立方晶格、面心立方晶格和 体心立方晶格的维格纳一塞茨原胞( Winger -seitz) 维格纳一塞茨原胞:由某一个格点为中心,做出最 近各点和次近各点连线的中垂面,这些所包围的空间为 维格纳一塞茨原胞。如图所示为一种二维格子的维格纳 塞茨原胞。 XCHO01 057 简单立方、面心立方晶格和体心立方晶格如图XCH001002、007和003所示 XCHOO100° 简单立方格子的维格纳一塞茨原胞为原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立正方体 如图XCH001058所示 面心立方格子的维格纳一塞茨原胞为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。如 图XCH01059所示 Simple cube Face Centered Cube↑a3 XCHoo1 059 cHOl o0 Body Centered Cube O Winger -Seitz XCH001058 体心立方格子的维格纳一塞茨原胞为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体,和沿 立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角,形成的14面体。八个面是正六边 形,六个面是正四边形。如图XCH001060所示 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 晶体结构_20050406 补充例题 001 试做出简单立方晶格、面心立方晶格和 体心立方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)。 维格纳—塞茨原胞：由某一个格点为中心，做出最 近各点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间为 维格纳—塞茨原胞。如图所示为一种二维格子的维格纳 —塞茨原胞。 简单立方、面心立方晶格和体心立方晶格如图 XCH001_002、007 和 003 所示。 简单立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和 6 个近邻格点连线的垂直平分面围成的立正方体。 如图 XCH001_058 所示. 面心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和 12 个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。如 图 XCH001_059 所示. 体心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和 8 个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿 立方轴的 6 个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的 14 面体。八个面是正六边 形，六个面是正四边形。如图 XCH001_060 所示. REVISED TIME: 05-9-29 - 5 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章晶体构_20050406 4.晶格周期性的描述一布拉伐格子 对于简单晶格,任一原子A的位矢R1:R=la1+l2a2+l1a3 Lattice vector for two dimensions R 2 O XCHoOI 045 o a XCH001045 如图XCH001_045所示是二维晶格原子A的位矢:R=2a1+302 图XCH01_04502所示的三维格子,A原子的位矢:R=5+a2+a3 对于复式晶格:任一原子A的位矢R:如图XCH001008所示 R1=元+1a1+l2a2+l3a3,a=1,2,3 其中:元是原胞中各种等价原子之间的相对位移。 例如:对于金刚石晶格,面心立方位置(绿色标记)的原 子B的位置:la1+l2a2+l2a3 对角线原子(红色标记)的位置:+l1a1+l2a2+l2a3,其 中z是沿对角线1/4位移 XCH0O1 008 因此可以用1a1+l2a2+l1a3表示一个空间格子,一组l1a1+l2a2+l2a3的取值可以囊括所有的格点 ★布拉伐格子:由l1+l2a2+l2a确定的空间格子; 晶体可以看作是在布拉伐格子( Lattice)的每一个格点上放上一组原子( Basis基元)构成的 ★图XCH001040~XCH00141所示的是基元是2个原子,布拉伐格子是二维斜方格子时,晶体的 构成。 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 晶体结构_20050406 4. 晶格周期性的描述 — 布拉伐格子 对于简单晶格，任一原子 A 的位矢 Rl K ： 1 1 2 2 3a3 R l a l a l l K K K K = + + 如图 XCH001_045 所示是二维晶格原子 A 的位矢： 1 2 2 3 Rl = + a a K K K 图 XCH001_045_02 所示的三维格子，A 原子的位矢： 1 2 3 Rl 3 = a a + + a K K K K 对于复式晶格：任一原子 A 的位矢 Rl K ：如图 XCH001_008 所示 Rl = ra + l1a1 + l2a2 + l3a3 , α =1, 2, 3…… K K K K K 其中： αr K 是原胞中各种等价原子之间的相对位移。 例如：对于金刚石晶格，面心立方位置（绿色标记）的原 子 B 的位置：l1 1 2 2 3a3 a l a l K K K + + 对角线原子（红色标记）的位置： 1 1 2 2 3a3 l a l a l K K K K τ + + + , 其 中τ K 是沿对角线 1/4 位移 因此可以用l1 1 2 2 3a3 a l a l K K K + + 表示一个空间格子，一组l1 1 2 2 3a3 a l a l K K K + + 的取值可以囊括所有的格点。 + 布拉伐格子：由 1 1 2 2 3a3 l a l a l K K K + + 确定的空间格子； + 晶体可以看作是在布拉伐格子（Lattice）的每一个格点上放上一组原子（Basis 基元）构成的。 + 图 XCH001_040~XCH_001_41 所示的是基元是 2 个原子，布拉伐格子是二维斜方格子时，晶体的 构成。 REVISED TIME: 05-9-29 - 6 - CREATED BY XCH
圉体特理学黄晃第一章晶体构_20050406 Crystal + Basis+ lattice= Crystal XCHOOI 041 ★图XCH001_042所示的是基元是1个原子,布拉伐格子是三维斜方格子时,晶体的构成 ★图XCH001_043为基元是多个原子,二维布拉伐格子是斜方格子时晶体的构 XCHOO1 043 XCHOOI 042 REVISED TIME: 05-9-29 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第一章 晶体结构_20050406 + 图 XCH001_042 所示的是基元是 1 个原子，布拉伐格子是三维斜方格子时，晶体的构成。 + 图 XCH001_043 为基元是多个原子，二维布拉伐格子是斜方格子时晶体的构成。 REVISED TIME: 05-9-29 - 7 - CREATED BY XCH