do de sined-20+ 顶4-心+广+h=-2R冰+∬+少2++h =-2Rr+护+h+0=-R, 即得x=-R.因此，在此坐标系下球体的重心位置为(R0,0) 解法2取几为坐标原点，球心在(0,0，R),则球面方程为2+y2+2=2R,球体的密 度函数为(xy)=x+y+),设2的重心位置为（民，），则由对称性知 x=0-0,而 ∬c(x2+y2+2J∬=x2+y2+:2)h r+r+h+护+h 采用球面坐标来计算式中的三重积分，球面方程为r=2Rcs,由奇偶对称性可得 ∬+y广+d=4后d0 sinodopdr =22 ene-吕e ∬=r+y广+：h=4d0 cososinpdo =21-号 即得：-R。因此，在此坐标系下球体的重心位置为0,0，R. 注求重心是三重积分的应用之一，要记住求重心的公式。在计算公式中的重积分时， 注意运用奇偶对称性。 例34设平面薄片所占的闭区域D由曲线y=x2,x=1及y=0围成，且其面密度函数 px,)=y,求该薄片对x轴、y轴以及原点O的转动惯量L,1o 解区域D如图8-29所示，则 1,=小广pdo=∬dc==。r=0 1,=小pao=∬do===6 o=j∬e+yra=∬y+yd=l,+,=80 图8-22 2 2 2 5 5 0 0 0 4 32 8 sin 2 0 3 15 R d d r r dr R R R   =  −  + =         2 2 2 2 2 2 2 2 x x R y z dv R x dv x x y z R dv [( ) ] 2 ( )    − + + = − + + + +    1 2 2 2 2 ( ) 0 3 R x y z dv  = −  + + +  8 6 15 = −  R ， 即得 4 R x = − ．因此，在此坐标系下球体的重心位置为 ( ,0,0) 4 R − ． 解法 2 取 P0 为坐标原点，球心在 (0,0, ) R ，则球面方程为 2 2 2 x y z Rz + + = 2 ，球体的密 度函数为 2 2 2 ( , , ) ( ) x y z k x y z = + + ， 设  的 重 心 位 置 为 ( , , ) x y z ，则由对称性知 x y = = 0, 0 ，而 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) kz x y z dv z x y z dv z k x y z dv x y z dv     + + + + = = + + + +     ， 采用球面坐标来计算式中的三重积分，球面方程为 r R = 2 cos ， 由奇偶对称性可得 2 cos 2 2 2 4 2 2 0 0 0 ( ) 4 sin R x y z dv d d r dr        + + =     5 2 5 0 32 2 cos sin 5 R d  =      32 5 . 15 =  R 2 cos 2 2 2 5 2 2 0 0 0 ( ) 4 cos sin R z x y z dv d d r dr         + + =     6 2 7 0 64 2 cos sin 6 R d  =      8 6 3 =  R ． 即得 5 4 z R = ．因此，在此坐标系下球体的重心位置为 5 (0,0, ) 4 R ． 注 求重心是三重积分的应用之一，要记住求重心的公式．在计算公式中的重积分时， 注意运用奇偶对称性． 例 34 设平面薄片所占的闭区域 D 由曲线 2 y x x = = , 1 及 y = 0 围成，且其面密度函数 ( , ) , x y xy = 求该薄片对 x 轴、 y 轴以及原点 O 的转动惯量 , , x y O I I I ． 解 区域 D 如图 8－29 所示，则 2 1 1 2 3 3 9 0 0 0 1 1 , 4 40 x x D D I y d xy d xdx y dy x dx = = = = =         2 1 1 2 3 3 7 0 0 0 1 1 , 2 16 x y D D I x d x yd x dx ydy x dx = = = = =         2 2 3 3 7 ( ) ( ) 80 O x y D D I x y d x y xy d I I = + = + = + =      ． 图 8－29 D x y o 1 1 x =1 2 y x =