解由题意可得，该球体的密度函数为4(x,y,)=k√R+y2+,(k>0为一常数)， 则所求质量为 M=j∬kR+y广+do=d0 do"krsinodr=kπR 例32设有一个等腰直角三角形薄片，腰长为，各点处的面密度等于该点到直角顶 y1 D={0≤x≤a,0≤y≤a-x,面密度函数为(x,)=x2+y2,则此薄片的 质量为 M-fu(x.ydadyta. 图8-28 此薄片对y轴的静距为 M,=∬，o=+y=a, 由对称性可知武德片对：销的静距M=从一吕，故重心坐标为 例33(O0研)设有一半径为R的球体，P是此球的表面上的一个定点，球体上任一 点的密度与该点到P距离的平方成正比（比例常数k>0),求球体的重心位置. 分析首先建立坐标系，以球心为坐标原点，乃取在某个轴上，例如可取在x轴上，即 卫的坐标为(R0,0)也可以以B为坐标原点，球心在某个坐标轴上，例如以点(0,0，R)为球 心.直接利用重心坐标的计算公式，采用球面坐标计算三重积分即可得重心坐标. 解法1记球体为？，以Ω的中心为坐标原点，射线OP为x轴建立空间直角坐标系， 则球面方程为x2+y+2=R,点B的坐标为(R0,0),球体的密度函数为 x)=x-R2+y+2] 设Ω的重心位置为（低，），由对称性知下=0，三=0，而 ∬x-2+y2+2j∬x-+y2+2h ∬(x-R+y2+2jx-R+y2+:2 采用球面坐标来计算上式中的三重积分，并利用奇偶对称性，得 川∬x-R+y+:h=j∬r+y+:2-2xR+R 解 由题意可得，该球体的密度函数为 2 2 2 ( , , ) , x y z k x y z = + + （ k  0 为一常数）， 则所求质量为 2 2 2 2 2 4 0 0 0 sin R M k x y z d d d kr r dr k R         = + + =  =     ． 例 32 设有一个等腰直角三角形薄片，腰长为 a ，各点处的面密度等于该点到直角顶 点的距离的平方，求这薄片的重心． 解 建立坐标系如图 8－28 所示，则平面薄片所占的区域 D x a y a x =     − {0 ,0 }, 面密度函数为 2 2 ( , ) x y x y = + ，则此薄片的 质量为 2 2 4 0 0 1 ( , ) ( ) , 6 a a x D M x y d dx x y dy a   − = = + =    图 8－28 此薄片对 y 轴的静距为 2 2 5 0 0 1 ( , ) ( ) 15 a a x y D M x x y d xdx x y dy a   − = = + =    ， 由对称性可知此薄片对 x 轴的静距 5 15 x y a M M= = ，故重心坐标为 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 5 5 M y M x x y a a M M = = ． 例 33（00 研） 设有一半径为 R 的球体， P0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一 点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比（比例常数 k  0 ），求球体的重心位置． 分析 首先建立坐标系，以球心为坐标原点， P0 取在某个轴上，例如可取在 x 轴上，即 P0 的坐标为 ( ,0,0). R 也可以以 P0 为坐标原点，球心在某个坐标轴上，例如以点 (0,0, ) R 为球 心．直接利用重心坐标的计算公式，采用球面坐标计算三重积分即可得重心坐标． 解法 1 记球体为  ，以  的中心为坐标原点，射线 OP0 为 x 轴建立空间直角坐标系， 则球面方程为 2 2 2 2 x y z R + + = ，点 P0 的坐标为 ( ,0,0) R ，球体的密度函数为 2 2 2 ( , , ) [( ) ]. x y z k x R y z = − + + 设  的重心位置为 ( , , ), x y z 由对称性知 y z = = 0, 0, 而 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [( ) ] [( ) ] . [( ) ] [( ) ] kx x R y z dv x x R y z dv x k x R y z dv x R y z dv     − + + − + + = = − + + − + +     采用球面坐标来计算上式中的三重积分，并利用奇偶对称性，得 2 2 2 2 2 2 2 [( ) ] ( 2 ) x R y z dv x y z xR R dv   − + + = + + − +   2 2 2 2 ( ) 2 x y z dv R xdv R dv    = + + − +    x y o a a D