例29计算三重积分1=/xy=心其中Ω是球体2+)护+：2≤1，被积函数 0. :≥+y f(x.y.=)= F+y,0≤：≤√F+y NF+2+, <0 分析被积函数是分段函数，因此需将积分区域分成三个 部分区域（如图8一26所示）米计算. 解根据被积函数的表达式及积分区域的特点，采用球面 坐标进行计算，并将积分区域分为三部分 2=0≤r≤1,0≤p≤T,0≤0≤2x 8一26 2,=0≤r≤L≤p≤5,0≤0≤2x. 0=0srsl,7sps元，0s0s2,则 1-rx.x.o+o+(x.y.do odu+dodesinr sindodsindr =0+2almown+2agmaofrh-号ri6 注与二重积分类似，如果三重积分的被积函数含有绝对值，首先要考虑去掉绝对值符 号，即将积分区域分为几部分，使得在每一部分区域上，被积函数都保持不变号，实际上就 是将含有绝对值的被积函数化为分段函数来计算。 例30设平面簿片所占的闭区域D由直线x+y=2,y=x及x轴所围成，面密度函数 (x,y)=x2+y少2，求该薄片的质量. 解设所求薄片的质量为M,区域D如图8一27所示，则 M=∬xdo=(+r =2-y+2y2-子w =2-以+封%= 图8-27 例31设有一球心在原点，半径为R的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到 球心的距离成正比，求这个球体的质量。例 29 计算三重积分 I f x y z d ( , , ) ,   =  其中  是球体 2 2 2 x y z + + 1 ，被积函数 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, , ( , , ) , , , 0. z x y f x y z x y z x y x y z z   +   = +   +    + +   0 分析 被积函数是分段函数，因此需将积分区域分成三个 部分区域（如图 8－26 所示）来计算． 解 根据被积函数的表达式及积分区域的特点，采用球面 坐标进行计算，并将积分区域分为三部分： 1 {0 1,0 ,0 2 }, 4 r   =          2 {0 1, ,0 2 }, 4 2 r    =          3 {0 1, ,0 2 } 2 r   =           ，则 图 8－26 1 2 3 I f x y z d f x y z d f x y z d ( , , ) ( , , ) ( , , )     = + +    1 2 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 4 2 0 sin sin sin d d d r r dr d d r r dr                = + +         1 1 2 2 3 3 0 0 4 2 0 2 sin 2 sin d r dr d r dr   = + +             2 2 16   = + ． 注 与二重积分类似，如果三重积分的被积函数含有绝对值，首先要考虑去掉绝对值符 号，即将积分区域分为几部分，使得在每一部分区域上，被积函数都保持不变号．实际上就 是将含有绝对值的被积函数化为分段函数来计算． 例 30 设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 x y y x + = = 2, 及 x 轴所围成，面密度函数 2 2 ( , ) x y x y = + ，求该薄片的质量． 解 设所求薄片的质量为 M ，区域 D 如图 8－27 所示，则 1 2 2 2 0 1 3 2 3 0 4 3 4 1 0 ( , ) ( ) 1 7 [ (2 ) 2 ] 3 3 1 2 7 4 [ (2 ) ] . 12 3 12 3 y y D M x y d dy x y dx y y y dy y y y   − = = + = − + − = − − + − =     图 8－27 例 31 设有一球心在原点，半径为 R 的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到 球心的距离成正比，求这个球体的质量． D x y o x y + = 2 y x = 1 2 2 x y z o 1 2 3