G)的表达式，即要将分子的二重积分计算出来，由于 aunvk 2[f(r)dr f(r)dr 要证1>0时，F0>2C0),即证 ∫fr2rd∫fr2r f(r')rdr [f(r')dr 亦即 [f(r')dr["f(r')r'dr-([f(r2yrdry>0. 解(1)分别作球坐标变换：x=rsincos0,y=rsinosin0,:=rcos与极坐标变换： x=pcos0,y=psin0.于是 Fu)daf def y sinod def nodp ∫ifp2)pdp 由变限积分求导法得 Fw-2.- (f(r)rdr) -2.0c-t1E0m f(r)rdr 因此Fx)在区间(O,+切)单调增加 (2)下面用两种方法来证明不等式F)>三G0. 证法1构造函数，利用函数单调性证明。 令g0=fr2)r'dfr2t-0frnd时，则g'0=f)fru-dt>0,故g0在 (0,+∞)内单调增加.因为g0在1=0处连续且g0)=0,所以当1>0时，有g0>g0)=0, 因此当1>0时，不等式成立.证毕. 证法2利用柯西不等式的积分形式（即许瓦兹不等式）证明. 柯西不等式的积分形式为：若fx,gx)在[a,上连续（可放宽为可积），则有 fx)g(x)≤∫f产(xdg(xd, 其中等号当且仅当存在常数a,B,使ax)=g(x)时成立(a,B不同时为零).所以 fr2时=rfNf<∫rfr2)d∫f2d, 即不等式成立。证毕. Gt() 的表达式，即要将分子的二重积分计算出来，由于 2 2 0 0 2 0 ( ) ( ) 2 ( ) t t d f r rdr G t f r dr   =    2 0 2 0 ( ) ( ) t t f r rdr f r dr  =   ， 要证 t  0 时， 2 F t G t ( ) ( )   ，即证 2 2 2 0 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t f r r dr f r rdr f r rdr f r dr      ， 亦即 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ) 0 t t t f r dr f r r dr f r rdr −     ． 解 （1） 分别作球坐标变换： x r y r z r = = = sin cos , sin sin , cos      与极坐标变换： x y = =     cos , sin . 于是 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 ( ) sin 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t d d f r r dr f r r dr F t d f d f d              = =        ， 由变限积分求导法得 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ( ) ) t t t t f t f r rdr tf t f r r dr F t f r rdr −  =     ( ) 2 2 0 2 2 0 ( ) ( )( ) 2 0, (0, ) ( ) t t tf t rf r t r dr t f r rdr − =    +   因此 F x( ) 在区间 (0, ) + 单调增加． （2）下面用两种方法来证明不等式 2 F t G t ( ) ( )   ． 证法 1 构造函数，利用函数单调性证明． 令 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] t t t g t f r r dr f r dr f r rdr = −    ，则 2 2 2 0 ( ) ( ) ( )( ) 0 t g t f t f r t r dr  = −   ，故 gt() 在 (0, ) + 内单调增加．因为 gt() 在 t = 0 处连续且 g(0) 0 = ，所以当 t  0 时，有 g t g ( ) (0) 0  = ， 因此当 t  0 时，不等式成立．证毕． 证法 2 利用柯西不等式的积分形式（即许瓦兹不等式）证明． 柯西不等式的积分形式为：若 f x g x ( ), ( ) 在 [ , ] a b 上连续（可放宽为可积），则有 2 2 2 [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx     ， 其中等号当且仅当存在常数  , ，使   f x g x ( ) ( ) = 时成立（  , 不同时为零）．所以 2 2 2 2 2 0 0 [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] t t f r rdr r f r f r dr =   2 2 2 0 0 ( ) ( ) t t  r f r dr f r dr   ， 即不等式成立．证毕．