于是 1=j∬x+dw doder(sincossin do (sinoindof =r0it仁2ecs+m29dn ococo+sin(2) 3-25 (sin2 cos0-cos2 =6"写+0cos0+0=g 解法2先利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，然后采用“先二后一”法。 因为∬d加中被积函数是关于x的奇函数，而且积分区域Ω是关于平面x=0对称的。 故∬dw=0,于是 1=∬x+do==t广+t∬d -t+el-t=受 注计算三重积分，如果可以利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，计算量将会 大大减小. 例28(03研)设函数fx)连续且恒大于零， 川fx+y+) ∬fx2+yda F0= 夏+roG0= f(x')ds 其中2)={xg引x2+y+2≤产，D0={x,y川x2+y≤}. (1)讨论F(x)在区间(0，+0)内的单调性. (2)证明当1>0时，F0>2G0 分析(1)要讨论F(x)在区间(0，+∞)内的单调性，可以讨论F'(x)的正负号，为此需要 先求出F(x)的表达式，即需要将分子的三重积分与分母的二重积分先计算出来： (2)要证明不等式F0)>二G0),可以先讨论F)-三G0)的单调性，为此需要先求出于是 I x z d ( )   = + 2 1 4 2 0 0 0 d d r r dr (sin cos cos ) sin   = +          2 1 4 2 3 0 0 0 d d r dr (sin cos cos sin )   = +          2 4 0 0 1 1 cos2 sin 2 ( cos ) 4 2 2 d d        − = +   2 4 0 0 1 [(1 cos2 )cos sin 2 ] (2 ) 16 d d   = − +        图 8－25 2 4 4 0 0 0 1 2 sin 2 cos [cos2 ] 16 d    = − −       {[ ] } 2 0 1 [( 1)cos 1] 16 2 8 d    = + + =    ． 解法 2 先利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，然后采用“先二后一”法． 因为 xd   中被积函数是关于 x 的奇函数，而且积分区域  是关于平面 x = 0 对称的， 故 xd 0,  =  于是 1 2 2 1 2 2 0 ( ) ( ) 2 ( ) D z D z I x z d zd zdz dxdy zdz dxdy     = + = = +       2 1 2 2 2 2 0 2 (1 ) . 8 z z dz z z dz  = + − =     注 计算三重积分，如果可以利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，计算量将会 大大减小． 例 28（03 研） 设函数 f x( ) 连续且恒大于零， 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t D t f x y z dv F t f x y d  + + = +   ， 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) D t t t f x y d G t f x dx  − + =   ， 其中 2 2 2 2 2 2 2  = + +  = +  ( ) {( , , ) | }, ( ) {( , ) | } t x y z x y z t D t x y x y t ． （1）讨论 F x( ) 在区间 (0, ) + 内的单调性． （2）证明当 t  0 时， 2 F t G t ( ) ( )   ． 分析 （1）要讨论 F x( ) 在区间 (0, ) + 内的单调性，可以讨论 F x ( ) 的正负号，为此需要 先求出 F x( ) 的表达式，即需要将分子的三重积分与分母的二重积分先计算出来； （2）要证明不等式 2 F t G t ( ) ( )   ，可以先讨论 2 F t G t ( ) ( )  − 的单调性，为此需要先求出 x y z o  1 D z() 2 2 1 2 D z()