川fx,y,:)dw而言，被积函数fx,y,)是定义在整个空间区域2上的（在本题中就是球体 x2+y2+2≤：)，而不仅仅是Q的表面（在本题中就是球面x2+y2+2=:),因而不能将 被积函数+y+2直接换成E。 例2的计望三宝积分1-护种n是球装4s 分析被积函数中含有x+y+2项，可考虑采用球面坐标计算：注意到被积函数是关 于：的奇函数，且积分区域Q是关于：=0对称的，则可利用奇偶对称性简化计算」 解法1采用球面坐标计算.令x=rsinpcos0,y=rsingsin0,:=rcosp,则 aoocoDm 1+x2+y2+22 2+1 -广e=2a0fr=0. 解法2由于被积函数++广+中是关于：的奇函数，而且积分区城Q是关于 1+x2+y2+2 平面：=0（即xOy面）对称的，所以 2w0 例27计算三重积分1=川x+)d心，其中Q是锥面：=√F+了和球面 :=V-x-y所围的空间区域. 分析积分区域Q(如图8一25)由锥面和球面围成，宜采用球面坐标计算：若注意 到∬=0（被积函数是关于x的奇函数，且积分区域Ω关于平面x=0对称），则 I=∬x+:dw=∬du,而∬dw只是关于：的函数，用垂直于：轴的平面截Q,截面为 圆域，面积易求，故可采用“先二后一”法。 解法1采用球面坐标.容易看出0≤r≤L,0≤0≤2π，锥面的母线对应的0角即与：轴 正向的夹角，：=sincos0+r产sinsin日=rsino=rcosp,因此0≤p≤于，从而积 分区域0可以表示为2={，,0)10≤r≤1,0≤p≤,0≤0≤2π f x y z d ( , , )    而言，被积函数 f x y z ( , , ) 是定义在整个空间区域  上的（在本题中就是球体 2 2 2 x y z z + +  ），而不仅仅是  的表面（在本题中就是球面 2 2 2 x y z z + + = ），因而不能将 被积函数 4 2 2 2 x y z + + 直接换成 4 z ． 例 26 计算三重积分 2 2 2 2 2 2 ln(1 ) , 1 z x y z I d x y z   + + + = + + +  其中  是球体 2 2 2 x y z + + 1． 分析 被积函数中含有 2 2 2 x y z + + 项，可考虑采用球面坐标计算；注意到被积函数是关 于 z 的奇函数，且积分区域  是关于 z = 0 对称的，则可利用奇偶对称性简化计算． 解法 1 采用球面坐标计算．令 x r y r = = sin cos , sin sin ,     z r = cos ,  则 2 2 2 2 2 2 ln(1 ) 1 z x y z I d x y z   + + + = + + +  2 2 1 2 2 0 0 0 cos ln( 1) sin 1 r r d d r dr r       + = +    3 2 3 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 ln( 1) ln( 1) sin cos 2 0 0 1 1 r r r r d d dr dr r r        + + = =   = + +     ． 解法 2 由于被积函数 2 2 2 2 2 2 ln(1 ) 1 z x y z x y z + + + + + + 是关于 z 的奇函数，而且积分区域  是关于 平面 z = 0 （即 xOy 面）对称的，所以 2 2 2 2 2 2 ln(1 ) 0 1 z x y z I d x y z   + + + = = + + +  ． 例 27 计 算 三 重 积 分 I x z d ( )   = +  ，其中  是锥面 2 2 z x y = + 和球面 2 2 z x y = − − 1 所围的空间区域． 分析 积分区域  （如图 8－25）由锥面和球面围成，宜采用球面坐标计算；若注意 到 xd 0  =  （被积函数是关于 x 的奇函数，且积分区域  关于平面 x = 0 对称），则 I x z d zd ( ) ,     = + =   而 zd   只是关于 z 的函数，用垂直于 z 轴的平面截  ，截面为 圆域，面积易求，故可采用“先二后一”法． 解法 1 采用球面坐标．容易看出 0 1,0 2 ,     r   锥面的母线对应的  角即与 z 轴 正向的夹角， 2 2 2 2 2 2 z r r r r = + = = sin cos sin sin sin cos       ，因此 0 , 4     从而积 分区域  可以表示为 {( , , ) | 0 1,0 ,0 2 } 4 r r   =            ．