0<5 (2)(1+x)2=1+ax+ (a-1)2a(a-1)(a-2) 6(1+5)a ,0<5<x 由于1<a<2,所以a(x-1a-2)<0,从而 Lagrange余项a(a=a=2)x 6(1+5) 小于零,于是得到 (a-1) 8.判断下列函数所表示的曲线是否存在渐近线,若存在的话求出渐 近线方程: (2) +x (6) y=In 2 (7)y=x+arccot x (8)y=V(x-2)x+1)2 1 1 (11 y=x xe r-vx'+x (12)y=x|xe 解(1)由于1mx=∞,所以x=-1是垂直渐近线;由于 a=lim=lim x(1+x) b=lim +x 所以斜渐近线为y=x-1。 (2)由于lim 0,所以y=0是水平渐近线。 (3)解法一:由于2 3 4 2 3 4 ln(1 ) , 0 2 3 4(1 ) 2 3 x x x x x x x x ξ ξ + = − + − < − + < < + x。 （2） 2 3 3 ( 1) ( 1)( 2) (1 ) 1 2 6(1 ) x x x x α α α α α α α α ξ − − − − + = + + + + ，0 < ξ < x。 由于1< < α 2 ，所以α( 1 α α − − )( 2) < 0，从而 Lagrange 余项 3 3 ( 1)( 2) 6(1 ) x α α α α ξ − − − + 小于零，于是得到 2 2 ( 1) (1 x) 1 x x − + < + + α α α α 。 8．判断下列函数所表示的曲线是否存在渐近线，若存在的话求出渐 近线方程： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; ⑺ y = x + arc cot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 ; ⑽ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 2 2 1 5 1 cos x e x y x ; (11) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 3 3 2 3 1 2 y x xe x x x ; (12) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ y = x xe − x + x 2x 2 1 2 . 解 （1）由于 2 1 limx 1 x →− x = ∞ + ，所以 x = −1是垂直渐近线；由于 2 lim lim 1 (1 ) x x y x a →∞ x x →∞ x = = + = ， 2 2 lim lim 1 x x 1 1 x x b ax x →∞ x x →∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − = ⎜ − ⎟ = − ⎝ ⎠ + + ⎝ ⎠ ， 所以斜渐近线为 y x = −1。 （2）由于 2 2 lim 0 x 1 x →∞ x = + ，所以 y = 0是水平渐近线。 （3）解法一：由于 129