x-x2(1+/-1im0y-hn+al242+o()1。 →+0 (6)由于tanx=x++o(x3),所以 +o(x) →0x( x tan x)x0x2tanx (7)令u=,由于 √1+u+1-a-2=(1+u-1)+(1-u-1) +0(r)+(-2-8+o(r) 所以 lim 3 x(√x+1+√x-1-2√x)=my++√--2 (8)令n=1,由于 e"(1-+2)--n=(1++2x3 01-+2)-1+o(un3)=2+o(v2) 所以 (1 lim x'-x2+ 7.利用 Taylor公式证明不等式 ≤ln(1+x)≤x (2)(1+x)2<1+ax+ 1) 1<a<2.x>0。 证(1)利用带 Lagrange余项的 Taylor公式, n(1+x)=x 0<5<x, 282 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 1 ln(1 ) 1 2 lim ln 1 lim lim x u u 2 u o u u u x x →∞ x u → → u + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ − + − ⎜ ⎟ + = = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 。 （6）由于 3 3 tan ( ) 3 x x = +x + o x ，所以 3 3 2 3 0 0 0 ( ) 1 1 1 tan 3 1 lim lim lim x x tan tan x 3 x o x x x → → x x x x x → x + ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − = = = ⎝ ⎠ 。 （7）令 1 u x = ，由于 1 1 + + u u − − 2 = ( 1+ u −1) + ( 1− u −1) 2 2 2 2 ( ( )) ( ( )) 2 8 2 8 4 u u u u u = − + o u + − − + o u = − + o u 2 2 ( )， 所以 lim ( ) x x x x x →+∞ + + − − 3 2 1 1 2 2 0 1 1 2 limu 4 u u → + u + + − − 1 = = − 。 （8）令 1 u x = ，由于 2 2 3 2 6 3 (1 ) 1 (1 )(1 ) 1 ( ) ( ) 2 2 6 2 u u u u u e u − + − − u = + u + + − + u − + o u = + o u 3 3 6 u ， 所以 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ e 1 2 lim 6 1 3 2 x x x x x x 2 6 3 0 (1 ) 1 1 2 lim 6 u u u e u u → + u − + − − = = 。 7． 利用 Taylor 公式证明不等式： （1） 2 3 ln(1 ) 2 2 2 3 x x x x x x − ≤ + ≤ − + ， x > 0； （2） 2 2 ( 1) (1 x) 1 x x − + < + + α α α α ， 1 < α < 2 , x > 0。 证（1）利用带 Lagrange 余项的 Taylor 公式， 2 3 2 3 ln(1 ) , 0 2 3(1 ) 2 x x x x x x ξ ξ + = − + > − < < + x， 128