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第11期 宋波等：基于Pushover法的曲线桥地震波输入最不利角度分析 .1225. 其中，山：、山分别是位移反应量u沿x、y轴的 9o)]fsin2a+{[ul,x0十b1,x(91,x-9o)][u,0十 分量， b1,y(91.y一9o)]一[u2,x0+b2x(92,x-o)]· [u2,0+b1,y(91,y-9o)]}sin2a(13) 式(13)是关于a的函数，因此要求函数的最大 值，需要对α进行求导，这里对Q求导，就可以求得 曲率响应量的极值和相对应的最不利输入角度 tan2a=2{[ul,x0+b1,x(9,x-9o)][ul,y0+ 图2单向地震波输入位移分解 b1y(91.y一9o)]一[u2.x0十b2.x(92,x-9o)] Fig.2 Displacement decomposition of one-direction input seismic [u2,0十b1,y(91,y-9o)]}/八[l,0十b1,x(91,x wave 9o)]2+[u20十b1,(9y-90)]2-[u20十 对于曲线桥梁空间三维的桥墩来说，如果采用 b2,x(92.-9o)]2-[u1,0十b1,y(91y-)]2} Pushover法得到墩底部曲率，那么在给定的整体坐 (14) 标系下，墩柱的底部的最大曲率可以在z平面和 从结果的形式上看，所求得的角度会有两个，一 yz平面内作分解，得到这两个平面内的曲率分量， 个是地震动输入最不利角度，另一个对应的是极小 其中9和9，总是比总的曲率要小，也就是说，即使 值，因此算得的结果要代入式(13)，检验是否会产生 墩柱底部总曲率己经超过屈服极限曲率，分量曲率 曲率最大响应量，公式中出现了9x、92y、92x和 可能会还处于弹性阶段.9.和9，对应于图2中的 2,四个曲率值，它们可能都大于屈服曲率o,也可 位移分量和山，他们之间满足下式： ux=u0十bz(9x-9o) 能都比9小，这里简化如下： (7) (1)9<9(i=1,2:=x,y)代入相应的uo 4,=u0十b,(9,一P0) (8) 和b,得到： 当结构受任意角度输入的二维地震波时，坐标 91.91一92，x91.y 体系见图3，图中1、2表示地震输入方向，xy坐标 （究.+)-(.十经，）（15) tan2a=2 系为结构计算坐标体系，用1和u2来表示结构在 (2)9>%(=1,2;j=x,y)代入相应的u0 方向1或者方向2上的地震作用下位移反应量： 和b,得到： 1=uL,xcos a十u1,ysin a (9) tan2a=2(u0一b9o)(91,x十91.y一92，x一 u2=一u2,xsin a十u2,ycos (10) 92.y)十b(91.x91y-92.x91,y)/1(u0- 其中，u1x、u2y、u2x和u2,可根据式(7)、(8)得： b9o)[(91.+91y)-(2,x十2.y)]+ u=uj0十b.j(9.90)i=1,2;j=x,y b[(.+y)-(吃.十)]}(16) (11) 其他情况则直接代入式(14)计算 在这里，可以看到公式中应用的曲率值是基于 单墩的计算结果，和曲线桥的平面形状无关，考虑 到在计算曲率过程中是利用Pushover法对整座桥 进行分析，已经考虑了桥型的影响，因此式(13)可以 图3双向地震波输入位移分解 应用于曲线桥的最不利角度推定，但是，在最后反 Fig.3 Displacement decomposition of bidirectional input seismic 求角度中对α求导过程中，却没有考虑由于桥墩在 waves 整座曲线桥位置不同而导致的结果差异以及曲线桥 假定各个方向上的地震是相互独立的，则在双 桥型对单个桥墩的影响，因此在最后的角度求解过 向地震下的结构的总反应可得： 程中引入桥型对单个桥墩的影响系数B,也就是： u=ui+u (12) tan2 0o=Ptan2 a (17) 因此，将式(9)~(11)代入式(12)有 {w十b[.(a)-9]}2={[u1.0十b1.x(91.x- 2算例及其分析 90)]+[u2,0十b1.,(9.y-9)]2fcos2a+ 算例对象桥梁为一座六跨曲线桥（图4），采用 {[2,x0十b2x(92.x-9o)]2+[1,y0十b1,y（91.y- 橡胶支座.桥梁全长222.5m,整体跨径组合为其中ux、uy 分别是位移反应量 u 沿 x、y 轴的 分量． 图2 单向地震波输入位移分解 Fig．2 Displacement decomposition of one-direction input seismic wave 对于曲线桥梁空间三维的桥墩来说如果采用 Pushover 法得到墩底部曲率那么在给定的整体坐 标系下墩柱的底部的最大曲率可以在 xz 平面和 yz 平面内作分解得到这两个平面内的曲率分量 其中 φx 和φy 总是比总的曲率要小也就是说即使 墩柱底部总曲率已经超过屈服极限曲率分量曲率 可能会还处于弹性阶段．φx 和φy 对应于图2中的 位移分量 ux 和 uy他们之间满足下式： ux＝ u0＋bx（φx—φ0） （7） uy＝ u0＋by（φy—φ0） （8） 当结构受任意角度输入的二维地震波时坐标 体系见图3图中1、2表示地震输入方向xy 坐标 系为结构计算坐标体系．用 u1 和 u2 来表示结构在 方向1或者方向2上的地震作用下位移反应量： u1＝ u1xcosα＋ u1ysinα （9） u2＝— u2x sinα＋ u2ycosα （10） 其中u1x、u2y、u2x和 u2y可根据式（7）、（8）得： uij＝ uij0＋bij（φij—φ0） i＝12；j＝ xy （11） 图3 双向地震波输入位移分解 Fig．3 Displacement decomposition of bidirectional input seismic waves 假定各个方向上的地震是相互独立的则在双 向地震下的结构的总反应可得： u 2＝ u 2 1＋ u 2 2 （12） 因此将式（9）～（11）代入式（12）有 ｛u0＋b ［φu（α）—φ0］｝2＝｛［ u1x0＋b1x（φ1x— φ0）］ 2＋［ u2y0＋b1y（φ1y—φ0）］ 2｝cos 2α＋ ｛［ u2x0＋b2x（φ2x—φ0）］ 2＋［ u1y0＋b1y（φ1y— φ0）］ 2｝sin 2α＋｛［ u1x0＋b1x（φ1x—φ0）］ ［ u1y0＋ b1y（φ1y—φ0）］—［ u2x0＋b2x（φ2x—φ0）］· ［ u2y0＋b1y（φ1y—φ0）］｝sin2α （13） 式（13）是关于 α的函数因此要求函数的最大 值需要对α进行求导．这里对α求导就可以求得 曲率响应量的极值和相对应的最不利输入角度． tan2α＝2｛［ u1x0＋b1x（φ1x—φ0）］ ［ u1y0＋ b1y（φ1y—φ0）］—［ u2x0＋b2x（φ2x—φ0）］· ［ u2y0＋b1y（φ1y—φ0）］｝／｛［ u1x0＋b1x（φ1x— φ0）］ 2＋［ u2y0＋b1y（φ1y—φ0）］ 2—［ u2x0＋ b2x（φ2x—φ0）］ 2—［ u1y0＋b1y（φ1y—φ0）］ 2｝ （14） 从结果的形式上看所求得的角度会有两个一 个是地震动输入最不利角度另一个对应的是极小 值因此算得的结果要代入式（13）检验是否会产生 曲率最大响应量．公式中出现了 φ1x、φ2y、φ2x 和 φ2y四个曲率值它们可能都大于屈服曲率 φ0也可 能都比 φ0 小这里简化如下： （1） φij＜φ0（ i＝12；j＝ xy）．代入相应的 u0 和 b得到： tan2α＝2 φ1xφ1y—φ2xφ1y （φ2 1x＋φ2 1y）—（φ2 2x＋φ2 1y） （15） （2） φij＞φ0（ i＝12；j＝ xy）．代入相应的 u0 和 b得到： tan2α＝2（ u0—bφ0）（φ1x＋φ1y—φ2x— φ2y）＋b（φ1xφ1y—φ2xφ1y）／｛（ u0— bφ0）［（φ1x＋φ1y）—（φ2x＋φ2y）］＋ b ［（φ2 1x＋φ2 1y）—（φ2 2x＋φ2 1y）］｝ （16） 其他情况则直接代入式（14）计算． 在这里可以看到公式中应用的曲率值是基于 单墩的计算结果和曲线桥的平面形状无关．考虑 到在计算曲率过程中是利用 Pushover 法对整座桥 进行分析已经考虑了桥型的影响因此式（13）可以 应用于曲线桥的最不利角度推定．但是在最后反 求角度中对 α求导过程中却没有考虑由于桥墩在 整座曲线桥位置不同而导致的结果差异以及曲线桥 桥型对单个桥墩的影响因此在最后的角度求解过 程中引入桥型对单个桥墩的影响系数 β也就是： tan2α0＝βtan2α （17） 2 算例及其分析 算例对象桥梁为一座六跨曲线桥（图4）采用 橡胶支座．桥梁全长222∙5m整体跨径组合为 第11期 宋 波等： 基于 Pushover 法的曲线桥地震波输入最不利角度分析 ·1225·