解特征方程2+1=0,A=±i 齐次方程特解y =C cosx+ C sinx 非齐次方程通解y1 2xe=2 (D+1)2+ x D2+2D+2 22 y2=n2,4six=-2 x cosx(计算方法同上题,取 e"的虚部) D2+1 所以y=c1cosx+c2snx+e(x-1)-2 x cosx 由y(0)=y(0)=0可得c1=1,c2=2 得解y=cosx+2sinx+e(x-1)-2 x cosx 3. y+4y+4y=e 解特征方程2+4A+4=0,A2=-2 y=(C,+c2x)e x e D-2+2 2 i)a≠-2 (D+2)2(a+2)2 (C,+c2r)e a≠-2 所以y (CL+cx)e 十.求解下列微分方程 1.xy+xy+y=2sin(In x) 解.令x=e',则t=lnx dt dt dt 得到方程y+y=2sint.解得y=c1cost+c2sint- t cOSt 所以得解y=c1 cos In x+c2 sin Inx- In x x解.  特征方程 1  0  2 l + = , l = ± i 齐次方程特解 y c  cos x  c  sin x  = 1 + 2 非齐次方程通解 x  D  D  x  e  D  xe e  D  y  x x  x  2  2  1  2  ( 1 ) 1  1  2  2  1  1  2 2 2 * 1 + + = + + = + = =  ( 1 ) 2  1  2  1  2 ˜ = - ¯ ˆ Á Ë Ê e  - D  x  e  x  x  x  x  x  x  D y 4 sin 2 cos  1 1 2 * 2 = - + = (计算方法同上题,  取 ix  e  D 1 1 2 + 的虚部) 所以 y  c  x  c  x  e  x  x  x  x cos sin  ( 1 ) 2  cos = 1 + 2 + - - 由 y (0 ) = y ' (0 ) = 0 可得 1 , 2  c 1 = c 2 = 得解 y  x  x  e  x  x  x  x = cos + 2 sin  + ( -1 ) - 2  cos 3. ax  y' ' +4 y ' +4 y = e  解.  特征方程 4  4  0  2 l + l + = ,  l1, 2 = - 2 x  y c  c  x  e  2 1 2 ( ) - = + i)  a = - 2 x  x  x  x  e  D  e  e  D  y 2 2 2 2 2 2 * 2  1  1  ( 2  2 ) 1  ( 2 ) 1 - - - = - + = + = ii) a ¹ - 2 2 2 * ( 2 ) ( 2 ) 1 + = + = a  e  e  D  y  ax  ax  所以 Ô Ô Ó Ô Ì Ï + + + + + = - - - x  x  x  ax  c  c  x  e  x  e  e  a c  c  x  e  y 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 ( ) ( 2) 1 ( ) 2 2 = - ¹ - a a 十.  求解下列微分方程:  1.  ' '  '  2 sin(ln  ) 2 x y  +xy + y = x  解.  令 x  e  t  x  t = ,则 = ln  得 dt  dy  dt  d  y  x  y  dt  dy  xy = - = 2 2 2 ' '  '  得到方程 y' ' + y = 2 sin t .  解得 y c  cost  c  sin t  t cost  = 1 + 2 - 所以得解 y c  cosln x  c  sin ln x  ln x cosln x  = 1 + 2 -