八.求解下列微分方程 解.特征方程A5+x4+223+2x2+A+1=0 (+1)(2+1)2 于是得解y=c1e+(c2+c3x)sinx+(c4+c3x)cosx y(0)=1,y(0)=0,y(0)=6,y"(0)=-14 解.特征方程2-522+10-6=0,(A-1)(4+3)(2-24+2)=0 134 得通解为y=ce2+c2e-3x+e(c3cosx+c;sinx) 由y(0)=1,y(0)=0,y(0)=6,y"(0)=-14 得到 得特解y=-ex+e-3x+e'(cosx+sinx) 九.求解下列微分方程 3sin 2x+2 co 解.特征方程2+1=0,2=±i 齐次方程通解y=c1cosx+c2sinx 非齐次方程特解:y D2+1 y2 3sin 2x=3 12 2 coSx 考察 2e= 2e 1=2 1=2e D 2i+D xe=(cosx + isin x)(ix) D 2i xsinx-x cosx 所以 2 coSx=xsinx D2+1 所以通解为y=c1cosx+c2snx+x-sin2x+ x sin x 2xe+4 sin x y(0)=y(0)=0八.  求解下列微分方程:  1.  2  ' ' '  2  ' '  '  0  (5) (4) y  + y  + y  + y  + y + y = 解.  特征方程 2  2  1  0  5 4 3 2 l + l + l + l + l + = ( 1 )( 1 ) 0  2 2 l + l + = = - = i = - i 1 2, 3 4, 5 l 1, l , l 于是得解 y  c e  c  c  x  x  c  c  x  x  x ( )sin ( ) cos  = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 - 2. Ó Ì Ï = = = = - - + - = (0) 1,  ' (0) 0,  ' ' (0) 6,  ' ' ' (0) 14 5 ' '  10 '  6 0 (4) y  y  y  y  y  y  y  y  解.  特征方程 5  10  6  0  4 2 l - l + l - = ,  ( 1 )( 3 )( 2  2 ) 0  2 l - l + l - l + = 1  l1 = ,  3  l2 = - , = 1 ± i l 3, 4 得通解为 ( cos  sin ) 3 4 3 1 2 y  c e  c  e  e  c  x  c  x  x x  x  = + + + - 由 y (0 ) = 1 , y ' (0 ) = 0 , y ' ' (0 ) = 6 , y ' ' ' (0 ) = -14  得到 2 1 c1 = - ,  2 1 c2 = ,  1  c3 = ,  1  c 4 = 得特解 (cos  sin ) 2 1 2 1 3 y  e  e  e  x  x  x x  x  = - + + + - 九.  求解下列微分方程:  1. y' ' + y = x + 3 sin 2 x + 2 cos x  解.  特征方程 1  0  2 l + = , l = ± i 齐次方程通解 y c  cos x  c  sin x  = 1 + 2 非齐次方程特解: x  x  D y = + = 1 1 2 * 1 x  x  x  D x  D y sin 2 sin 2 4 1 3 sin 2 1 1 3sin 2 3 1 1 2 2 * 2 = - - + = + = + = x  D y 2 cos  1 1 2 * 3 + = 考察 1  2  1  1  1  2  2  1  1 2  ( ) 1  1  2  2  1  1  2 2 2 D  i  D  e  D  iD  e  D  i  e  e  D  ix ix  ix  ix  + = + = + + = + =  (cos  sin )( ) 1 2 1 1 )1 2 2 4 1 ( 1 2 xe x  i x  ix  D i i e  D D i e  ix ix  ix  + = = = + - = x sin x - ix cos x  所以 x  x  x  D y 2 cos  sin 1 1 2 * 3 = + = 所以通解为 y c  cos x  c  sin x  x  sin 2 x  x sin x  = 1 + 2 + - + 2. Ó Ì Ï = = + = + (0) ' (0) 0 ' '  2 4 sin y  y  y  y  xe x  x