52 Taylor级数求法举例 第6页 解可直接求出函数(1+2)°在2=0点的各阶导数值 f(0)=1 f(0)=a(1+2)0 f"0)=a(a-1)(1+2)0-2l2 f(n)(0)=a(a-1)(a-2)…(a-n+1)(1+2) (a-1)…(a-n+1) 因此 (1+2)=1+a2+-1)3x 2 2 其中 a(a-1)…(a-n+1) 称为普遍的二项式展开系数 级数的收敛区域,还要视割线的作法而定.收敛半径等于z=0到割线的最短距离,所以 最大可能的收敛区域是||<1,R=1 例5.3求多值函数m(1+2)在2=0的Tyor展开,规定m(1+2)2=0=0 解在上述规定下,函数l(1+2)可表示为定积分,因此 ,+== n=0 (-)nn+1 收敛区域也要看割线怎么作.收敛半径等于z=0到割线的最短距离,最大可能的收敛区域是 2<1,R=1 在无穷远点的 Taylor展开如果函数f(x)在z=∞点解析,则也可以在z=∞点展开成 Taylor级数§5.2 Taylor ✸ ✝✹✺✻✼ ✌ 6 ✍ ❞ ❘✶ ✷ ➻❩❃❄ (1 + z) α ❅ z = 0 ◗ ❊➎➫➭❄➄❑ f(0) = 1, f 0 (0) = α (1 + z) α−1   z=0 = α, f 00(0) = α(α − 1) (1 + z) α−2   z=0 = α(α − 1), . . . f (n) (0) = α(α − 1)(α − 2)· · ·(α − n + 1) (1 + z) α−n   z=0 = α(α − 1)· · ·(α − n + 1), . . . ✈ ♣ (1 + z) α = 1 + αz + α(α − 1) 2 z 2 + · · · + α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! z n + · · · = X∞ n=0  α n  z n , ❬ ❭  α 0  = 1 ➤  α n  = α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! ➏ ❇❈➐❊➑①❥❱❲÷❄✸ ❯❄❊t✉qr❑➲ ❶➒➓➔❊ ➍ ✩ î ④✸t✉➬➮✬◆ z = 0 ✑➓➔❊ ✃→➣➱ ❑ ❣ ❆❑ ✃↔ ❘✵❊t✉qr♦ |z| < 1, R = 1 ✸ ❝ 5.3 ➻➃➄❃❄ ln(1 + z) ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲❑➇④ ln(1 + z)   z=0 = 0 ✸ ❞ ❅❍↕➇④➙❑❃❄ ln(1 + z) ❘❙❚❇④❣❤❑✈♣ ln(1 + z) = Z z 0 1 1 + z dz = Z z 0 X∞ n=0 (−) n z ndz = X∞ n=0 (−) n Z z 0 z ndz = X∞ n=0 (−) n n + 1 z n+1 = X∞ n=1 (−) n−1 n z n . t✉qr✴ ❶➛➓➔➜★➍✸t✉➬➮✬◆ z = 0 ✑➓➔❊ ✃→➣➱❑✃↔ ❘✵❊t✉qr♦ |z| < 1 ❑ R = 1 ✸ F ➝➞➟➠➡✞ Taylor ✆✝ ✜✫❃❄ f(z) ❅ z = ∞ ◗ ■❏❑▲✴ ❘❆❅ z = ∞ ◗ ❱❲❯ Taylor ❯❄✸