第五章解析函数的局域性展开 第5页 由部示成列介收敛普见绝,收敛,故成列相乘是合法常乘积介两收敛普常公共区域见仍绝。收 待定系列法级 例51求tanz介z=0常 Taylor从容 解由部tanz是奇罗列,故介z=0常 Taylor从容应只有奇次示 2k+1 a2k+12 k=0 COS 2 2k+1 SIn 2= cOs 2 比较系列,即得 所绍 a1=1; 241-2 因此 2 从tanz常奇单绍判断成列常收敛半径应些m3152 15 应用待定糸数法能得到亲数之间的递推关糸。原则上可以逐法求出展开亲数,但一般 不容易求出求数的通项公式(即展开亲数an的解析表达式)级 求果只需要求出孓数中的某一项或某几项糸数,也可以采用待定糸数法级 ★多值函数的 Taylor展开部多值罗列,介适当规定了单值分枝后,即单像单值罗列那样 作 Taylor从容级 例52求多值罗列(1+x)介2=0常 Taylor从容,规定z=0时(1+x)=1级￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 5 ✍ ✔◆❚❯❄❅t✉ ❈❋❴▼t✉❑✖❯❄➧❭ ♦❵ ✩❊❑❭❣❅✏t✉ ❈❊✐✳qr ❋❛❴▼t ✉✸ F ❜④÷❄✩✸ ❝ 5.1 ➻ tan z ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲✸ ❞ ✔◆ tan z ♦ ➶❃❄❑✖ ❬ ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲❡⑩♠➶❢❚❑ tan z = X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 = sin z cos z , sin z = cos z · X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 , X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n+1 = X∞ l=0 (−) l (2l)! z 2l · X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 = X∞ n=0 Xn k=0 (−) n−k (2n − 2k)!a2k+1! z 2n+1 . ✭✮÷❄❑❷✛ Xn k=0 (−) k (2n − 2k)!a2k+1 = 1 (2k + 1)!. ❣ ❆ n = 0 : a1 = 1; n = 1 : 1 2 a1 − a3 = 1 6 , a3 = 1 3 ; n = 2 : 1 24 a1 − 1 2 a3 + a5 = 1 120 , a5 = 2 15 ; . . . ✈ ♣ ❑♠ tan z = z + 1 3 z 3 + 2 15 z 5 + 17 315 z 7 + · · · . ❱ tan z ❊➶◗ ❘❆❤✐❑❯❄❊t✉➬➮❡❇ π/2 ✸ ❥❦❧➓ ♠✬♥❑Û♦♣ ♠✬q r✯st ✉♠ ❑ ✈Þ➞→ ➣✇✩① ②ÏÐ ♠✬❑③★Ù ×④ ⑤① ②✾✬✯⑥⑦⑧⑨ (⑩ÏÐ ♠✬ an ✯✶✷✵❶⑨) ✸ ✹❷ ❸❹❺① ②✾✬ ❻✯ ❼★⑦Ñ ❼❽⑦ ♠✬❑Ú→ ➣❾❦❧➓ ♠✬♥✸ F ❿➀➁➂✞ Taylor ✆✝ ▼◆➃➄❃❄❑❅ ➅➆➇④➷❘➄❤➈➉ ❑❷❘➊❘➄❃❄➋➌ ➍ Taylor ❱❲✸ ❝ 5.2 ➻➃➄❃❄ (1 + z) α ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲❑➇④ z = 0 ❴ (1 + z) α = 1 ✸