52m级讲法举例 参考 5.2 Taylor级数求法举例 求 Taylor级数的方法很难一一罗列,这里只介绍一些普通常见的方法 基本公式 e2=1+x++…++ n=0 -)n2n+1 2=6(2n+1) 2|<1 n=0 ★对于其他函数,总是尽量利用这些基本公式 1+z2 有理函数总可以用部分分式的方法化为更简单的形式 3z+222 1-2 z2+2∑(2)n 有些函数可以表示成更简单的函数的导数或积分,从而可以容易地求出其 Taylor级数, (n+1)z,|z|< 如果函数可以表示成两个(或几个函数的乘积,而每一部分的 Taylor晨开比较容易求出时, 则可采用级数相乘的方法 2k.)2 k=0 <§5.2 Taylor ✸ ✝✹✺✻✼ ✌ 4 ✍ §5.2 Taylor ✽✤✾✿❀❁ ➻ Taylor ❯❄❊❛✩❂ø❧❧❃❄✸➠➡⑩❅❆❧❇❈❉❊❋❊❛✩✸ F ●❍✐❥③ e z = 1 + z + z 2 2! + · · · + z n n! + · · · = X∞ n=0 z n n! , |z| < ∞, sin z = e iz − e −iz 2i = X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n+1 , |z| < ∞, cos z = e iz + e−iz 2 = X∞ n=0 (−) n (2n)! z 2n , |z| < ∞, 1 1 − z = X∞ n=0 z n , |z| < 1. F ▼◆❬■ ❃❄❑❏ ♦❑▲▼❙➠❇●❍✐❥✸ 1 1 + z 2 = X∞ n=0 ￾ −z 2
n = X∞ n=0 (−) n z 2n , |z| < 1. ♠⑤❃❄❏❘❆❙◆❤❤❥❊❛✩❖❇P◗❘❊➢❥❑ 1 1 − 3z + 2z 2 = − 1 1 − z + 2 1 − 2z = − X∞ n=0 z n + 2X∞ n=0 (2z) n = X∞ n=0 ￾ 2 n+1 − 1
z n , |z| < 1 2 . ♠❇❃❄❘❆❙❚❯P◗❘❊❃❄❊➭❄❳❣❤❑❱ î ❘❆❲❳❨➻❩ ❬ Taylor ❯❄✸ 1 (1 − z) 2 = d dz 1 1 − z = d dz X∞ n=0 z n = X∞ n=1 nzn−1 = X∞ n=0 (n + 1)z n , |z| < 1. F ✜✫❃❄❘❆❙❚❯✏ü (❳❬ü) ❃❄❊❭❣❑î❪ ❧◆❤❊ Taylor ❱❲ ✭✮❲❳➻❩❴❑ ▲❘❫❙❯❄➧❭❊❛✩✸ 1 1 − 3z + 2z 2 = 1 1 − z · 1 1 − 2z = X∞ k=0 z k · X∞ l=0 2 l z l = X∞ k=0 X∞ l=0 2 l z k+l = X∞ n=0 Xn l=0 2 l ! z n = X∞ n=0 ￾ 2 n+1 − 1
z n , |z| < 1 2