定理157:设有整环R,char(R=p,作映射 φR-R,对任a∈R,φ(a)=a?是R的一个自同态映 射且a≠b时o(a)≠q(b) 证明:同态映射要求对任a,b∈R有:p(a+b)=p(a) φ(b),q(a*b)=o(a)*(b) φ(a*b)=(a米b)ap*bp=q(a)*p(b 因为在交换环中,二项式定理成立 因此在(a+b)展开式中,其系数为C(p,i), 故除C(p,0)=C(p,p)=1外,C(,i)含有因子p. 而对任意a∈R,有pa=0 因此p(ab)=(a+b)=ap+byq(a)(b)定 理 1 5 . 7 ： 设 有 整 环 R,char(R)=p, 作映射 :R→R,对任aR,(a)=ap是R的一个自同态映 射且ab 时(a)(b)。 证明:同态映射要求对任a,bR有:(a+b)=(a) +(b),(a*b)=(a)*(b). (a*b)=(a*b)p=ap*bp=(a)*(b). 因为在交换环中,二项式定理成立. 因此在(a+b)p的展开式中,其系数为C(p,i), 故除C(p,0)=C(p,p)=1外,C(p,i)含有因子p. 而对任意aR,有pa=0 因此(a+b)=(a+b)p=ap+bp=(a)+(b)