nb 1 泛定方 udt, o==p(2) Dirichlet条件 Neumman条件 边界条件 若p(E)=0, 则称为齐次边条 aut, i)+B au(t, 1) =p2) Robin条件(a,B为常数 4.其它物理条件 以上三种问题 维空间,还需要借助其它一些物理条件,才能确定问题的唯一解 ■自然条件 例如,在取球坐标或柱坐标时,物理问题往往要求在r=0(球坐标)或ρ=0(柱坐标)时,函数是有限的 在球坐标中有时还要求,在极角θ=0与θ=丌时,函数也是有限的。 ■周期条件 例如,在取球坐标或柱坐标时,物理问题往往要求在6+2π)=l6),其中ψ为球(柱)坐标的方位角。 Helmholtz方程与辐射条件: 波动方程(,0-a2l(x,0=0在三维空间为:m(P,)-a2v2,=0 对时谐(单色)波,(,小=Rc小,代入波动方程,即可得到a方满足的方程 V2u()+k2()=0,其中R。6 这个方程称为 Helmholtz方程 当然,对波动方程的时间变量做 Fourier变换,也可得 Helmholtz方程,这时的函数)代表 Helmholtz方程是椭圆形方程 如果我们要求方程在某些有限区域之外的无穷区域的解,需要给定边条 (a)在有限区域边界上给定:au()+B du(r) 其中一表示边界的法向导数。常数a,B不同时为0 注:a()+B~ 形式实际上包含了三种可能的边条,例如a=0,B≠0即退化为 Neumman边条 (b)在无穷远处的边条: lim rut)有限 (c) Sommerfeld辐射条件:lim ik()=0, 物理意义:场是向外辐射的。 当r→∞时,~—满足辐射条件, 不满足辐射条件,而前者是向外辐射的波(参见§8.3)。 根据椭圆型方程的附加条件要求,前两个条件容易理解,相当于给定“闭表面”的边界条件 而第三个(辐射条件)实际上隐含了物理上的因果关系:因为有限区域的源产生的场,一定是向外辐射的 下图画出〓=0平面——及——的波形随时间变化,可看出是一个向外传播的球面波。 注意真正的物理场是:a,=Reae泛定方程 ： ∇2 ur , t = f 边界条件 ： ur  , t Σ = p(Σ) Dirichlet 条件 或 ∂ ur  , t ∂ n Σ = p  (Σ) Neumman条件 或 α ur , t + β ∂ ur , t ∂ n Σ = p(Σ) Robin条件 （α, β为常数） 若 p(Σ) = 0, 则称为齐次边条 4. 其它物理条件 以上三种问题，在高维空间，还需要借助其它一些物理条件，才能确定问题的唯一解。 ◼ 自然条件： 例如，在取球坐标或柱坐标时 ，物理问题往往要求在 r = 0 （球坐标） 或 ρ = 0 （柱坐标） 时，函数是有限的 。 在球坐标中有时还要求 ，在极角 θ = 0 与 θ = π 时，函数也是有限的 。 ◼ 周期条件： 例如，在取球坐标或柱坐标时 ，物理问题往往要求在 u(ϕ + 2 π) = u(ϕ)，其中 ϕ 为球 （柱） 坐标的方位角 。 ◼ Helmholtz 方程与辐射条件： 波动方程 utt(x, t) - a2 uxx (x, t) = 0 在三维空间为 ： uttr , t - a2 ∇2 ur , t = 0 对时谐 （单色） 波，ur , t = Reu(r ) - ω t ， 代入波动方程 ，即可得到 u(r  ) 满足的方程 ∇2 u(r ) + k2 u(r ) = 0, 其中 k2 = ω2 a2 这个方程称为 Helmholtz 方程。 (1.6) 当然， 对波动方程的时间变量做Fourier变换 ，也可得 Helmholtz 方程，这时的函数 u(r ) 代表 u  r  , ω。 Helmholtz方程是椭圆形方程 。 如果我们要求方程在某些有限区域之外的无穷区域的解 ，需要给定边条 (a) 在有限区域边界上给定 ： α u(r ) + β ∂ u(r ) ∂ n 。其中 ∂ ∂ n 表示边界的法向导数 。常数 α, β 不同时为 0。 注： α u(r ) + β ∂ u(r ) ∂ n 形式实际上包含了三种可能的边条 ，例如 α = 0, β ≠ 0 即退化为Neumman边条 。 (b) 在无穷远处的边条 ： lim r∞r u(r ) 有限 (c) Sommerfeld辐射条件 ： lim r∞r ∂ u(r  ) ∂ r -  k u(r  ) = 0, 物理意义：场是向外辐射的 。 当 r  ∞ 时，u ∼  k r r 满足辐射条件 ， u ∼ - k r r 不满足辐射条件 ，而前者是向外辐射的波 （参见§ 8.3）。 根据椭圆型方程的附加条件要求 ，前两个条件容易理解 ，相当于给定 “闭表面” 的边界条件 。 而第三个 （辐射条件 ） 实际上隐含了物理上的因果关系 ：因为有限区域的源产生的场 ，一定是向外辐射的 。 下图画出 z = 0 平面  k r r 及 - k r r 的波形随时间变化 ，可看出是一个向外传播的球面波 。 注意真正的物理场是 ：ur  , t = Reu(r  ) - ω t  z09a.nb 15