·100 智能系统学报 第3卷 3.2一致性和同步问题 始时刻+1的比例为p,采用BA无标度网络，取节 一致性问题是近年来国际控制界兴起的一个研 点数N=1000,平均度k=4,然后设定其观点动力 究热点问题.从物理的角度考察这一问题可追溯到 学演化规则.基于Ising模型及文献[70]，首先定义 1995年发表在Physical Review Letters上的相变模 1(0=∑(0 型，即Vicsek模型).一致性问题关注一群通过局 个体i在下一时刻采取+1的概率为p,(),采取 部作用（与最近邻居的信息交互）的个体能否在某些 物理状态（速度、角度等）上达到一致4).设个体相 -1的概率为1-p:(),其中 1 互作用的拓扑关系图为G=(V,E,其中V=1,2, p:(0=1+e20 N},E={(i,j)∈X:aoy,A={ag}为图 这里所有个体的状态采用同步更新规则，用系统平 G的邻接矩阵.个体i的邻居集合为N,且N,= 均观点来衡量观点传播的情况.所有的数据点对应 {j∈：a判}.个体i的状态x,(在平均一致性协 于100次运行结果的平均值」 议(average-consensus)下的动态方程为 研究了在这3种初始观点分布情况下，系统达 x()=ay(x()-x,() 到稳态时系统平均观点对p的变化情况，如图4所 示.可以看出，对C2,即初始时+1占据度较大的 也可写成向量方程：x=-Lx,其中x=(x1,, xw),L为图G的拉氏矩阵(Laplacian matrix).当拓 节点，在初始比例p比较小的时候，能够使系统达 扑关系图是连通图时，系统中的个体状态渐近收敛 到全是+1的一致状态，而对C_3,即初始时-1占 据度较大的节点，当系统能够达到+1的一致状态 到所有个体初态的平均值.这个线性耦合模型与观 点动力学中的有界自信模型很相似，关注的角度都 时，初始比例p比其他2种分布情况的初始比例要 是系统能否达到一致.本质上来说，有界自信模型所 高一些.相应地，在这种情况下，系统比较容易到达 研究的内容可以看成离散的一致性问题.因此，把2 -1的一致状态.而对C_1,由于初始时刻观点+1 个问题结合起来考虑，特别是利用控制理论中的反 和-1都是随机均匀地分布在网络的节点上，当p< 馈原理，为观点动力学设计可能的一致性协议，研究 0.5时，系统达到稳态时，系统平均观点接近·1，而 实现到达一致性的数学条件是十分有意义的.另一 当p>0.5时，系统达到稳态时，系统平均观点接近 方面，观点动力学中聚类分离现象(polarization, +1.通过以上比较，可以看出，在无标度网络上，初 fragmentation),即不同观点的个体聚集到一起，也 始观点的分布情况能够影响观点的传播行为.尤其 可以借鉴一致性问题中的分群现象来研究 是初始时，相同观点占据度大的节点并且连接在一 值得一提的是，比一致性问题更悠久，在化学工 起，形成一个聚集类(cluster),是有利于此种观点在 程、非线性科学、物理学等领域中得到广泛而深入研 网络上传播的.进一步地，在上述结论的基础上，研 究的耦合振子同步问题，可以为观点动力学的研究， 究节点度的非线性作用对观点传播的影响.在上述 特别是个体观点之间存在非线性相互作用时，提供 模型的基础上，重新定义： 一定的研究思路505) 1w=k万o山 (3) 4群体决策中的一致性行为 式中：k、分别表示个体i和j的邻居数目节点i 4.1初始观点分布情况和节点度的非线性作用对 和j的度).在这里，由于C1中+1和-1随机均匀 观点传播的影响 地分布在网络上的节点上，在这种情况下比较难观 首先考察在无标度网络上，不同初始观点分布 察到节点度的非线性作用对同一观点的传播作用， 情况和节点度的非线性作用对二值观点传播的影 所以在这里只研究C2和C3的情况.可以想象， 响.一般地，在考察复杂网络上的观点动力学时，初 当初始的某种观点聚集到度比较大的节点上时， 始条件大都设定为+1和·1等比例随机地分布在 a>0是有利于这种观点在网络上传播的.如图5所 网络的顶点上.在这里，考察无标度网络上3种初始 示，可以发现，在C_2中，a越大越有利于观点+1 观点分布情况对观点动力学的影响：1)+1和-1随 的传播.相反地，如图6所示，在C3中，a越大越有 机分布(C_1);2)+1占据网络中度较大的节点 利于观点·1的传播.研究结果说明了在无标度网 (C2);3)-1占据网络中度较大的节点(C_3).初 络上不同的初始观点分布情况对观点的传播是有影 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net3. 2 一致性和同步问题 一致性问题是近年来国际控制界兴起的一个研 究热点问题. 从物理的角度考察这一问题可追溯到 1995 年发表在 Physical Review Letters 上的相变模 型 ,即 Vicsek 模型[95 ] . 一致性问题关注一群通过局 部作用(与最近邻居的信息交互) 的个体能否在某些 物理状态(速度、角度等) 上达到一致[48249 ] . 设个体相 互作用的拓扑关系图为 G = (V , E) ,其中 V = { 1 , 2 , …, N} , E = { ( i , j) ∈V ×V : aij ≠0} , A = { aij } 为图 G的邻接矩阵. 个体 i 的邻居集合为 N i , 且 Ni = { j ∈V : aij ≠0} . 个体 i 的状态 x i ( t) 在平均一致性协 议(average2consensus) 下的动态方程为 x . ( t) = j ∑∈N i aij ( x j ( t) - xi ( t) ) . 也可写成向量方程 : x . = - L x ,其中 x = ( x1 , x2 , …, x N ) ,L 为图 G 的拉氏矩阵(Laplacian matrix) . 当拓 扑关系图是连通图时 ,系统中的个体状态渐近收敛 到所有个体初态的平均值. 这个线性耦合模型与观 点动力学中的有界自信模型很相似 ,关注的角度都 是系统能否达到一致. 本质上来说 ,有界自信模型所 研究的内容可以看成离散的一致性问题. 因此 ,把 2 个问题结合起来考虑 ,特别是利用控制理论中的反 馈原理 ,为观点动力学设计可能的一致性协议 ,研究 实现到达一致性的数学条件是十分有意义的. 另一 方面 ,观点动力学中聚类分离现象 (polarization , fragmentation) ,即不同观点的个体聚集到一起 ,也 可以借鉴一致性问题中的分群现象来研究. 值得一提的是 ,比一致性问题更悠久 ,在化学工 程、非线性科学、物理学等领域中得到广泛而深入研 究的耦合振子同步问题 ,可以为观点动力学的研究 , 特别是个体观点之间存在非线性相互作用时 ,提供 一定的研究思路[ 50253 ] . 4 群体决策中的一致性行为 4. 1 初始观点分布情况和节点度的非线性作用对 观点传播的影响 首先考察在无标度网络上 ,不同初始观点分布 情况和节点度的非线性作用对二值观点传播的影 响. 一般地 ,在考察复杂网络上的观点动力学时 ,初 始条件大都设定为 + 1 和 - 1 等比例随机地分布在 网络的顶点上. 在这里 ,考察无标度网络上 3 种初始 观点分布情况对观点动力学的影响 :1) + 1 和 - 1 随 机分布 (C_ 1) ; 2) + 1 占据网络中度较大的节点 (C_2) ;3) - 1 占据网络中度较大的节点 (C_3) . 初 始时刻 + 1 的比例为 p . 采用 BA 无标度网络 ,取节 点数 N = 1 000 ,平均度 k = 4 ,然后设定其观点动力 学演化规则. 基于 Ising 模型及文献[70 ] ,首先定义 Ii ( t) = ∑ j σj ( t) , 个体 i 在下一时刻采取 + 1 的概率为 pi ( t) ,采取 - 1的概率为 1 - pi ( t) ,其中 pi ( t) = 1 1 + e - 2 I i ( t) . 这里所有个体的状态采用同步更新规则 ,用系统平 均观点来衡量观点传播的情况. 所有的数据点对应 于 100 次运行结果的平均值. 研究了在这 3 种初始观点分布情况下 ,系统达 到稳态时系统平均观点对 p 的变化情况 ,如图 4 所 示. 可以看出 ,对 C_2 ,即初始时 + 1 占据度较大的 节点 ,在初始比例 p 比较小的时候 ,能够使系统达 到全是 + 1 的一致状态 , 而对 C_3 ,即初始时 - 1 占 据度较大的节点 ,当系统能够达到 + 1 的一致状态 时 ,初始比例 p 比其他 2 种分布情况的初始比例要 高一些. 相应地 ,在这种情况下 ,系统比较容易到达 - 1 的一致状态. 而对 C_1 ,由于初始时刻观点 + 1 和 - 1都是随机均匀地分布在网络的节点上 ,当 p < 0. 5 时 ,系统达到稳态时 ,系统平均观点接近 - 1 ,而 当 p > 0. 5 时 ,系统达到稳态时 ,系统平均观点接近 + 1. 通过以上比较 ,可以看出 ,在无标度网络上 ,初 始观点的分布情况能够影响观点的传播行为. 尤其 是初始时 ,相同观点占据度大的节点并且连接在一 起 ,形成一个聚集类(cluster) ,是有利于此种观点在 网络上传播的. 进一步地 ,在上述结论的基础上 ,研 究节点度的非线性作用对观点传播的影响. 在上述 模型的基础上 ,重新定义 : Ii ( t) = ki ∑ j k ασj j ( t) ∑ j k α j . (3) 式中 : ki 、kj 分别表示个体 i 和 j 的邻居数目(节点 i 和 j 的度) . 在这里 ,由于 C_1 中 + 1 和 - 1 随机均匀 地分布在网络上的节点上 ,在这种情况下比较难观 察到节点度的非线性作用对同一观点的传播作用 , 所以在这里只研究 C_2 和 C_3 的情况. 可以想象 , 当初始的某种观点聚集到度比较大的节点上时 , α> 0是有利于这种观点在网络上传播的. 如图 5 所 示 ,可以发现 ,在 C_2 中 ,α越大越有利于观点 + 1 的传播. 相反地 ,如图 6 所示 ,在 C_3 中 ,α越大越有 利于观点 - 1 的传播. 研究结果说明了在无标度网 络上不同的初始观点分布情况对观点的传播是有影 ·100 · 智 能 系 统 学 报 第 3 卷