第2期 王龙，等：复杂网络上的群体决策 ·99· 均度和初始扰动的个体数目的改变对以上结果的影 到了更多地分析9则，目前，关于这方面的研究比较为 响比较小.文献[77]发现在KH和WD模型上，向 大家所关注，相信它将是今后研究的一个重点方向 量维度的增加对一致状态的收敛有促进作用 3相关的群体决策问题 除了采用以上常用模型来研究网络上的观点动 力学问题，还可以采用其他模型，如Galam和Szna 3.1语言游戏(language games) jd等人为研究观点动力学提出的相关模型58,7s). 语言演化过程的研究，如词汇、语法的发展等， 其实这些模型和上述几类模型有着非常密切的关 吸引了国际上众多学者的研究兴趣).个体观点 系其中有些模型就是在这些模型的基础上加以改 的表达是基于语言的，因此语言的演化研究也可以 进得到的.除了用这些模型来研究复杂网络上的观 看作是一类广义的观点演化过程.这里，将简单介绍 点动力学，噪声、非线性作用、记忆效应等机制也可 语言游戏中关于语法演化(evolution of grammar) 以加以考虑65,28).借助这些机制，再结合以上模 的一个基本模型31，并指出它与上文所介绍的观点 型，复杂网络上的观点动力学将成为复杂网络动力 动力学模型的联系 学中一个新的热点 考虑一个异质人群中的语言演化动力学问题， 另一方面，观点动力学与网络拓扑的共同演化 假设语法G,其中含有n个候选语法，G,G, 问题也得到了关注和研究.网络拓扑不同对观点传 G.每一个语法都有各自的构成规则.定义参数 播是有影响的，而不同个体之间的观点相互影响也 表示一个句子同时符合语法G,和G的概率，即语 可以反作用于网络拓扑.在社会系统中，研究系统观 法G,和G相通的程度，其中0≤，且aa=1 点收敛的模型大致分为2种：一种是个体对事物观 由a构成的矩阵A表示这n个语法之间两两相通 点的形成是受邻居观点影响的：另外一种是对事物 的程度.假设一个使用语法G,的个体和一个使用语 持相同（近）观点的个体比较容易成为邻居.Nw~ 法G,的个体交流的收益是F(G,G)=(a+ man等ss结合以上实际情形，通过一个概率参数 a)/2,显然F(G,G)=1.设x,为使用语法G,的 中来控制这2种演化过程的相互影响程度，进而提 个体占群体的比例，那么每个使用语法G,的个体的 出了一种考察网络拓扑和个体观点相互作用的模 型.他们发现，改变这个参数，系统平衡时的状态可 平均收益可以表示为f:=∑xF(G,G).假设一 以由不同观点共存的状态转化到绝大多数个体持相 个后代在使用语法G,的语言环境里学习，但最终说 同观点的状态.另外，G1等81也提出了一种观点 的却是使用语法G的语言的概率是Q,.根据复制 传播和网络拓扑共同演化的模型，其规则如下：初始 突变方程(replicator-mutator equation),可以得到 网络拓扑为N个节点组成的全连通图：观点+1， 该模型的人口动力学方程为 -1随机等比例地分布在网络上.在演化过程中，每 =,1=1，…m 2) 次从网络中随机选取一节点对（节点之间相互连 接)，如果选取的节点对的状态相同，进行下一步演 式中：=∑f,∑：=1.可以看出，式2有很 化，否则，即当选取的节点对之间的观点不同时，节 多稳定的和不稳定的平衡点.而当Qg=0时，这个 点对中的一个节点以概率p1改变自己的状态，即采 系统存在i个非对称的稳定平衡点x:=1,x=0() 用另一个节点的状态来保证节点对之间的观点相 ≠).当Q,比较大时，惟一的稳定平衡点是在所有 同，或者节点对以概率1-p保持观点不变，在这种 语法的使用者比例x,几乎相等的点处取得.因此当 情况下，两节点之间的边再以概率2断开.按照这 Qg=0,j≠i时，系统会收敛到全局一致的语法 样的演化规则，网络会演化成为由互不连通的社团 (universal grammar)).式(2)可以看成一个非线性 组成，社团内部的个体保持相同的观点，而社团之间 耦合的观点动力学模型，并且最终能达到一致.此 个体的观点不同，从而形成了不同观点有效分离的 外，引起物理界研究人员兴趣的命名游戏(naming 有趣现象.相应地，Rosvall等人采用个体之间交流 game)1o1,也可以看成一类广义的观点动力学.由 反馈的规则研究了系统中拓扑结构和信息之间的自 此，观点演化的研究可以借鉴语言演化中的一些模 组织现象s8)进一步地，通过运用统计物理的方法， 型，并且可以运用演化博弈论的相关理论，从而可以 观点动力学与网络拓扑的共同演化问题在理论上得 进一步地促进观点动力学的发展 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net均度和初始扰动的个体数目的改变对以上结果的影 响比较小. 文献[77 ]发现在 KH 和 WD 模型上 ,向 量维度的增加对一致状态的收敛有促进作用. 除了采用以上常用模型来研究网络上的观点动 力学问题 ,还可以采用其他模型 ,如 Galam 和 Szna2 jd 等人为研究观点动力学提出的相关模型[58 ,78281 ] . 其实这些模型和上述几类模型有着非常密切的关 系 ,其中有些模型就是在这些模型的基础上加以改 进得到的. 除了用这些模型来研究复杂网络上的观 点动力学 ,噪声、非线性作用、记忆效应等机制也可 以加以考虑[ 65 ,82284 ] . 借助这些机制 ,再结合以上模 型 ,复杂网络上的观点动力学将成为复杂网络动力 学中一个新的热点. 另一方面 ,观点动力学与网络拓扑的共同演化 问题也得到了关注和研究. 网络拓扑不同对观点传 播是有影响的 ,而不同个体之间的观点相互影响也 可以反作用于网络拓扑. 在社会系统中 ,研究系统观 点收敛的模型大致分为 2 种 :一种是个体对事物观 点的形成是受邻居观点影响的 ;另外一种是对事物 持相同 (近) 观点的个体比较容易成为邻居. New2 man 等[85 ]结合以上实际情形 ,通过一个概率参数 <来控制这 2 种演化过程的相互影响程度 ,进而提 出了一种考察网络拓扑和个体观点相互作用的模 型. 他们发现 ,改变这个参数 ,系统平衡时的状态可 以由不同观点共存的状态转化到绝大多数个体持相 同观点的状态. 另外 , Gil 等[ 86287 ] 也提出了一种观点 传播和网络拓扑共同演化的模型 ,其规则如下 :初始 网络拓扑为 N 个节点组成的全连通图;观点 + 1 , - 1随机等比例地分布在网络上. 在演化过程中 ,每 次从网络中随机选取一节点对 (节点之间相互连 接) ,如果选取的节点对的状态相同 ,进行下一步演 化;否则 ,即当选取的节点对之间的观点不同时 ,节 点对中的一个节点以概率 p1 改变自己的状态 ,即采 用另一个节点的状态来保证节点对之间的观点相 同;或者节点对以概率 1 - p1 保持观点不变 ,在这种 情况下 ,两节点之间的边再以概率 p2 断开. 按照这 样的演化规则 ,网络会演化成为由互不连通的社团 组成 ,社团内部的个体保持相同的观点 ,而社团之间 个体的观点不同 ,从而形成了不同观点有效分离的 有趣现象. 相应地 , Rosvall 等人采用个体之间交流 反馈的规则研究了系统中拓扑结构和信息之间的自 组织现象[88 ] . 进一步地 ,通过运用统计物理的方法 , 观点动力学与网络拓扑的共同演化问题在理论上得 到了更多地分析[89294] .目前 ,关于这方面的研究比较为 大家所关注 ,相信它将是今后研究的一个重点方向. 3 相关的群体决策问题 3. 1 语言游戏(language games) 语言演化过程的研究 ,如词汇、语法的发展等 , 吸引了国际上众多学者的研究兴趣[33239 ] . 个体观点 的表达是基于语言的 ,因此语言的演化研究也可以 看作是一类广义的观点演化过程. 这里 ,将简单介绍 语言游戏中关于语法演化 (evolution of grammar) 的一个基本模型[35 ] ,并指出它与上文所介绍的观点 动力学模型的联系. 考虑一个异质人群中的语言演化动力学问题. 假设语法 G, 其中含有 n 个候选语法 , G1 , G2 , …, Gn . 每一个语法都有各自的构成规则. 定义参数 aij 表示一个句子同时符合语法 Gi 和 Gj 的概率 ,即语 法 Gi 和 Gj 相通的程度 ,其中 0 ≤aij ≤1 ,且 aii = 1. 由 aij构成的矩阵 A 表示这 n 个语法之间两两相通 的程度. 假设一个使用语法 Gi 的个体和一个使用语 法 Gj 的个体交流的收益是 F ( Gi , Gj ) = ( aij + aji) / 2 ,显然 F( Gi , Gi) = 1. 设 xi 为使用语法 Gi 的 个体占群体的比例 ,那么每个使用语法 Gi 的个体的 平均收益可以表示为 f i = ∑ j x j F ( Gi , Gj) . 假设一 个后代在使用语法 Gi 的语言环境里学习 ,但最终说 的却是使用语法 Gj 的语言的概率是 Qij . 根据复制 突变方程 (replicator2mutator equation) ,可以得到 该模型的人口动力学方程为 x . i = ∑ n j =1 x j f jQji - <x i , i = 1 , …, n. (2) 式中 :< = ∑i x i f i , ∑i x i = 1. 可以看出 ,式(2) 有很 多稳定的和不稳定的平衡点. 而当 Qij = 0 时 ,这个 系统存在 i 个非对称的稳定平衡点 x i = 1 , x j = 0 ( j ≠i) . 当 Qij 比较大时 ,惟一的稳定平衡点是在所有 语法的使用者比例 xi 几乎相等的点处取得. 因此当 Qij = 0 , j ≠i 时 , 系统会收敛到全局一致的语法 (universal grammar) . 式 (2) 可以看成一个非线性 耦合的观点动力学模型 ,并且最终能达到一致. 此 外 ,引起物理界研究人员兴趣的命名游戏 (naming game) [40247 ] ,也可以看成一类广义的观点动力学. 由 此 ,观点演化的研究可以借鉴语言演化中的一些模 型 ,并且可以运用演化博弈论的相关理论 ,从而可以 进一步地促进观点动力学的发展. 第 2 期 王 龙 ,等 :复杂网络上的群体决策 ·99 ·