·98 智能系统学报 第3卷 了基于二值观点的投票者模型.通过运用平均场方 相同观点的节点聚在一起成条形的现象.Li等) 法对模型进行理论分析，发现系统能够达到一致状 通过数值仿真研究了在空间方格上随机加边对收敛 态（即所有个体持有相同的观点），并且收敛的平均 时间的影响，发现随机加边可以缩短网络的平均最 时间Tx的量级为N/b,其中N为个体的数目， 短路径，从而使得收敛时间变短.Lambiotte!7用平 表示网络度分布的k阶矩(k th moment).当网 均场方法分析了二分网络(dichotomous networks, 络的度分布为幂律分布时，指数v>3时Tw量级为 即网络只由2种度不同的节点组成)上的观点动力 N,指数v=3时Tx量级为N/InN;指数2<v<3 学行为，发现度的差异性对系统中不同观点共存状 时，Tw的量级为N2w.”,指数v=2时Tw量级 态到观点一致状态的转变是有影响的，并且系统呈 为AnN)2:指数v<2时Tw量级为O(1);指数v< 现出非均分现象，说明系统观点的一致性与其网络 2时Tx量级为0(1).另外，对于节点度相关或不 连通性有很大关系.进一步地，他们研究了带有社团 相关的网络，这些理论分析和仿真结果都吻合得比 结构的网络上的多数决定模型，讨论了网络上观点 较好.而在方格网络上，Krapivsky等66-6)发现系统 呈现的不同状态与社团网络结构的关系63，！ 收敛时间与其维度有关.当维度是1时，其收敛到一 基于Ising模型，Bartolozzi等s研究了无标度 致状态的时间量级为N2;维度是2时，其收敛到一 网络上的观点动力学.初始时刻+1和·1两种观点 致状态的时间量级为NInN;当维度大于2时，收敛 随机均匀地分布在网络的节点上，并且令kaT=1. 可以发现随着强度α的不断增大，系统平均观点r 时间减少到N.这些结果表明，在异质网络上的投 对应于时间序列在零值附近的波动强度会越来越 票者模型中，系统能较快到达一致状态.进一步地， 大，从而使系统到达不了一致状态，并且r对应于时 文献[68]研究了分形方格网络上的投票者模型，发 间序列的所有值概率分布函数近似为高斯分布，而 现网络上观点状态的无序性（观点不同的节点对占 所有节点对的比值)是时间的幂律函数.Castellano 且对应于其他不同的参数这种分布依然存在.进一 等6发现在个体数目相同的情况下，小世界网络上 步地，Jung等s简化了上述模型，定义l,()为 M 的系统收敛时间比规则网络上的要短，其收敛时间 1:()=∑9().与文献[541相反的是，他们发现 量级为N.并且，当个体数目趋向无穷大时，小世界 系统平均观点r可以收敛到+1或者-1，并且BA 网络上不能表现出观点的完全有序性，因为小世界 网络上的系统收敛时间比其他网络的要短 网络上的长程连接能够抑制观点的有序化.另外，文 基于有界自信模型251，文献[74]研究了增长 献[61]发现引入少量的“狂热者”（即永远不改变自 的无标度网络上的观点动力学.初始时刻，每个个体 己观点的个体)将会阻碍系统到达一致状态，并且能 都赋给一个(0,1)之间的观点值.在观点演化过程 使这种不同观点共存的状态保持稳定.文献[70]在 中，随机选取个体1及它的一个邻居j,计算他们的 平均磁场守恒的条件下研究BA网络上的投票者模 观点值差异6，=g-g,当差异值满足|8，|<e时， 型，发现点对演化(link-update,以网络上的边为研 个体观点值做相应调整：a=q-δ，且g,=g- 究对象)时，磁场守恒，系统的收敛时间量级为N: δ，，其中￡为差异极限，u(0<u<0.5)为收敛参 单点演化(node-update,以网络上的节点为研究对 数，表示改变观点值的强度.仿真结果表明系统观点 象)时，平均磁场在网络上不守恒.如果偏好性地进 动力学依赖于参数￡，它决定了观点最终分布的峰 行单点演化，则可以使其平均磁场守恒 值：而个体数目N和收敛参数u只影响系统的收敛 基于多数决定模型，Krapivsky等61研究了方 时间和最终观点的分布范围：另外，无论在固定的无 格上二值观点的传播动力学，发现系统中群体观点 标度网络上还是在增长的无标度网络上，这些结果 达到一致状态的收敛时间量级为lnN,其中N为 均成立.Krause Deffuant等人提出了几类改进的有 个体的数目，并且收敛时间随着方格网络维度的增 界自信模型，即Krause-Hegselmann(KH)模型和 大而减少，当维度大于4的时候，有可能出现一个临 Weisbuch-Deffuant模型(WD)2223】.文献[76]在 界维度使得收敛时间与个体数目N无关.进一步 KH模型的基础上，研究发现，在BA网络上存在一 地，Chen等I研究了有限维空间方格上的观点动 个比较小的自信值使得扰动传播行为发生变化 力学，发现系统能最终达到一致状态.有趣的是，在 并且存在一个临界值￡，当自信值大于临界值时，初 系统达到一致状态的过程中，在方格网络上出现了 始的扰动可以传播到其他所有节点.并且网络的平 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net了基于二值观点的投票者模型. 通过运用平均场方 法对模型进行理论分析 ,发现系统能够达到一致状 态(即所有个体持有相同的观点) ,并且收敛的平均 时间 TN 的量级为 N u 2 1 / u2 ,其中 N 为个体的数目 , uk 表示网络度分布的 k 阶矩 ( k th moment) . 当网 络的度分布为幂律分布时 ,指数 v > 3 时 TN 量级为 N ,指数 v = 3 时 TN 量级为 N / ln N ;指数 2 < v < 3 时 , TN 的量级为 N (2 v - 4) / ( v - 1) ,指数 v = 2 时 TN 量级 为(ln N) 2 ;指数 v < 2 时 TN 量级为 O (1) ;指数 v < 2 时 TN 量级为 O (1) . 另外 ,对于节点度相关或不 相关的网络 ,这些理论分析和仿真结果都吻合得比 较好. 而在方格网络上 , Krapivsky 等[66267 ]发现系统 收敛时间与其维度有关. 当维度是 1 时 ,其收敛到一 致状态的时间量级为 N 2 ;维度是 2 时 ,其收敛到一 致状态的时间量级为 Nln N ;当维度大于 2 时 ,收敛 时间减少到 N . 这些结果表明 ,在异质网络上的投 票者模型中 ,系统能较快到达一致状态. 进一步地 , 文献[ 68 ]研究了分形方格网络上的投票者模型 ,发 现网络上观点状态的无序性 (观点不同的节点对占 所有节点对的比值) 是时间的幂律函数. Castellano 等[69 ]发现在个体数目相同的情况下 ,小世界网络上 的系统收敛时间比规则网络上的要短 ,其收敛时间 量级为 N . 并且 ,当个体数目趋向无穷大时 ,小世界 网络上不能表现出观点的完全有序性 ,因为小世界 网络上的长程连接能够抑制观点的有序化. 另外 ,文 献[ 61 ]发现引入少量的“狂热者”(即永远不改变自 己观点的个体) 将会阻碍系统到达一致状态 ,并且能 使这种不同观点共存的状态保持稳定. 文献[ 70 ]在 平均磁场守恒的条件下研究 BA 网络上的投票者模 型 ,发现点对演化 (link2update ,以网络上的边为研 究对象) 时 ,磁场守恒 ,系统的收敛时间量级为 N ; 单点演化 ( node2update ,以网络上的节点为研究对 象) 时 ,平均磁场在网络上不守恒. 如果偏好性地进 行单点演化 ,则可以使其平均磁场守恒. 基于多数决定模型 , Krapivsky 等[64 ] 研究了方 格上二值观点的传播动力学 ,发现系统中群体观点 达到一致状态的收敛时间量级为 ln N ,其中 N 为 个体的数目 ,并且收敛时间随着方格网络维度的增 大而减少 ,当维度大于 4 的时候 ,有可能出现一个临 界维度使得收敛时间与个体数目 N 无关. 进一步 地 ,Chen 等[62 ] 研究了有限维空间方格上的观点动 力学 ,发现系统能最终达到一致状态. 有趣的是 ,在 系统达到一致状态的过程中 ,在方格网络上出现了 相同观点的节点聚在一起成条形的现象. Li 等[71 ] 通过数值仿真研究了在空间方格上随机加边对收敛 时间的影响 ,发现随机加边可以缩短网络的平均最 短路径 ,从而使得收敛时间变短. Lambiotte [72 ]用平 均场方法分析了二分网络 (dichotomous networks , 即网络只由 2 种度不同的节点组成) 上的观点动力 学行为 ,发现度的差异性对系统中不同观点共存状 态到观点一致状态的转变是有影响的 ,并且系统呈 现出非均分现象 ,说明系统观点的一致性与其网络 连通性有很大关系. 进一步地 ,他们研究了带有社团 结构的网络上的多数决定模型 , 讨论了网络上观点 呈现的不同状态与社团网络结构的关系[63 ,73 ] . 基于 Ising 模型 ,Bartolozzi 等[ 54 ]研究了无标度 网络上的观点动力学. 初始时刻 + 1 和 - 1 两种观点 随机均匀地分布在网络的节点上 ,并且令 kB T = 1. 可以发现随着强度 a 的不断增大 ,系统平均观点 r 对应于时间序列在零值附近的波动强度会越来越 大 ,从而使系统到达不了一致状态 ,并且 r 对应于时 间序列的所有值概率分布函数近似为高斯分布 ,而 且对应于其他不同的参数这种分布依然存在. 进一 步地 ,J ung 等[ 55 ] 简化了上述模型 , 定义 Ii ( t) 为 Ii ( t) = ∑ M j =1 σj ( t) . 与文献[54 ]相反的是 ,他们发现 系统平均观点 r 可以收敛到 + 1 或者 - 1 ,并且 BA 网络上的系统收敛时间比其他网络的要短. 基于有界自信模型 [22 ,75 ] ,文献[ 74 ]研究了增长 的无标度网络上的观点动力学. 初始时刻 ,每个个体 都赋给一个 (0 ,1) 之间的观点值. 在观点演化过程 中 ,随机选取个体 i 及它的一个邻居 j ,计算他们的 观点值差异δij =σi - σj ,当差异值满足|δij | <ε时 , 个体观点值做相应调整 :σi =σi - uδij 且σj =σj - uδij ,其中ε为差异极限 , u (0 < u < 0. 5) 为收敛参 数 ,表示改变观点值的强度. 仿真结果表明系统观点 动力学依赖于参数ε,它决定了观点最终分布的峰 值;而个体数目 N 和收敛参数 u 只影响系统的收敛 时间和最终观点的分布范围;另外 ,无论在固定的无 标度网络上还是在增长的无标度网络上 ,这些结果 均成立. Krause、Deff uant 等人提出了几类改进的有 界自信模型 ,即 Krause2Hegselmann ( KH) 模型和 Weisbuch2Deff uant 模型 ( WD) [22223 ] . 文献 [ 76 ] 在 KH 模型的基础上 ,研究发现 ,在 BA 网络上存在一 个比较小的自信值εd 使得扰动传播行为发生变化 , 并且存在一个临界值εs ,当自信值大于临界值时 ,初 始的扰动可以传播到其他所有节点. 并且网络的平 ·98 · 智 能 系 统 学 报 第 3 卷