第2期 王龙，等：复杂网络上的群体决策 ·97· 1.2投票者模型(voter model) 投票者模型是观点动力学研究中比较简单的一 种模型s96].假设个体观点受到周围邻居的影响，并 14 且更新时从周围邻居中随机选择一个邻居的观点， 取代自己的观点（见图1）.由于在投票者模型中很 容易写出系统不同状态之间的转移概率，因此许多 问题可以进行解析分析，这是此模型的一个优点 图3多数决定投票模型示意图 Fig.3 Schematic graph of majority voter model 点的相互作用与演化2221.设x()为个体i的观点 图1投票者模型示意图 值，i=1,,N.在1时刻，向量x(t)=(x1() Fig.I Schematic graph of voter model x2(),,xx())的元素由各个个体的观点值组成， 在图1中，个体1从周围邻居中随机选取一个 称之为背景(profile).模型假设2个个体之间的观 邻居j,用j的观点+1取代自己原先的观点-1. 点差异在某一个界之内时，他们之间的观点才有相 1.3多数决定模型(majority rule model,MR) 互影响，即影响i的观点的个体集合为 多数决定模型刻画个体决策时充分利用周围邻 1i,x(0)=1≤j≤N(0-y1≤， 居的信息，观点更新时选取数目占优的那个观 式中：G表示个体i的自信强度(confidence level) 点2-641.一般地，从系统中选取奇数个个体（如G 由此，个体1下一时刻的观点取为 个)，被选中个体的观点全部更新为G个个体中较 多个体持有的观点（见图2）.一般网络上多数决定 x+V=.xI,e0: 式中|表示集合元素个数.式(1)可以写成如下 模型的更新过程为：随机选取一个节点，节点下一时 形式： 刻选取某观点的概率正比于周围邻居所持此观点的 x(t+1)=A(t,x(t))x() 总数目.这种更新规则又叫做多数决定投票模型 式中：A(1,x(W)={a画}，是一个行和为1的随机矩 (majority voter model),见图3.实际上，MR模型在 阵.对于j1(i,x(),a则=0；对于j∈1(i,x() 理论上一般很难解析，但是由于模型更符合实际，也 a叫=|1(i,x()川1.这是关于有界自信的线性模 得到了很好的研究」 型.还有其他有界自信的非线性模型，参见文献 651,这里不再赘述 2复杂网络上的观点动力学 一般地，在复杂网络上的各种动力学研究中，网 图2多数决定模型示意图 络的节点表示个体，节点之间的边表示个体之间的 Fig.2 Schematic graph of majority rule model 相互作用和影响.个体就是通过这样的相互作用并 在图2中，在个体i和其邻居（共5人）中，选择 且按照一定的演化规则来更新自身的状态、属性.复 -1的有3人，占多数，因此i及其邻居下一时刻观 杂网络上的观点动力学即是在这种框架下来研究系 点依据多数原则取为-1.在图3中，个体i的邻居 统观点的形成、传播和一致性等问题的.复杂网络上 中1/4选择+1,3/4选择-1，因此下一时刻i以1/ 的观点动力学主要分为两方面：一方面是研究静态 4概率选择+1，以314概率选择.1。 网络上的观点动力学问题：另一方面是关注网络拓 l.4有界自信模型(bounded confidence model) 扑和观点动力学的共同演化问题 更为现实一些，在某些情况下，观点并不是二值 首先讨论静态网络上基于投票者模型的一些相 的，如前文所叙，观点可以映射为一段区间内的任一 关结论.在异质网络网络中大部分节点的邻居数目 实数，此时有界自信模型就可以用来描述群体中观 存在差异，甚至成幂律分布)上，Sood等人16o研究 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net1. 2 投票者模型(voter model) 投票者模型是观点动力学研究中比较简单的一 种模型[59261 ] . 假设个体观点受到周围邻居的影响 ,并 且更新时从周围邻居中随机选择一个邻居的观点 , 取代自己的观点 (见图 1) . 由于在投票者模型中很 容易写出系统不同状态之间的转移概率 ,因此许多 问题可以进行解析分析 ,这是此模型的一个优点. 图 1 投票者模型示意图 Fig. 1 Schematic graph of voter model 在图 1 中 ,个体 i 从周围邻居中随机选取一个 邻居 j ,用 j 的观点 + 1 取代自己原先的观点 - 1. 1. 3 多数决定模型( maj orit y rule model , M R) 多数决定模型刻画个体决策时充分利用周围邻 居的信息 , 观点更新时选取数目占优的那个观 点[62264 ] . 一般地 , 从系统中选取奇数个个体 (如 G 个) ,被选中个体的观点全部更新为 G 个个体中较 多个体持有的观点 (见图 2) . 一般网络上多数决定 模型的更新过程为 :随机选取一个节点 ,节点下一时 刻选取某观点的概率正比于周围邻居所持此观点的 总数目. 这种更新规则又叫做多数决定投票模型 (majority voter model) ,见图 3. 实际上 ,MR 模型在 理论上一般很难解析 ,但是由于模型更符合实际 ,也 得到了很好的研究. 图 2 多数决定模型示意图 Fig. 2 Schematic graph of majority rule model 在图 2 中 ,在个体 i 和其邻居(共 5 人) 中 ,选择 - 1 的有 3 人 ,占多数 ,因此 i 及其邻居下一时刻观 点依据多数原则取为 - 1. 在图 3 中 ,个体 i 的邻居 中 1/ 4 选择 + 1 ,3/ 4 选择 - 1 ,因此下一时刻 i 以 1/ 4 概率选择 + 1 ,以 3/ 4 概率选择 - 1. 1. 4 有界自信模型(bounded confidence model) 更为现实一些 ,在某些情况下 ,观点并不是二值 的 ,如前文所叙 ,观点可以映射为一段区间内的任一 实数 ,此时有界自信模型就可以用来描述群体中观 图 3 多数决定投票模型示意图 Fig. 3 Schematic graph of majority voter model 点的相互作用与演化[22223 ] . 设 xi ( t) 为个体 i 的观点 值 , i = 1 , …, N . 在 t 时刻 , 向量 x ( t) = ( x1 ( t) , x2 ( t) , …, x N ( t) ) 的元素由各个个体的观点值组成 , 称之为背景 (profile) . 模型假设 2 个个体之间的观 点差异在某一个界之内时 ,他们之间的观点才有相 互影响 ,即影响 i 的观点的个体集合为 I(i , x (t)) = 1 ≤j ≤N ≤| xi (t) - xj ( y) | ≤εi , 式中 :εi 表示个体 i 的自信强度 (confidence level) . 由此 ,个体 i 下一时刻的观点取为 xi ( t + 1) =| I( i , x ( t) ) | - 1 j ∈I(∑i , x ( t) ) x j ( t) . (1) 式中 :| ·| 表示集合元素个数. 式 (1) 可以写成如下 形式 : x ( t + 1) = A( t , x ( t) ) x( t) . 式中 :A( t , x( t) ) = { aij} ,是一个行和为 1 的随机矩 阵. 对于 j I ( i , x( t) ) , aij = 0 ;对于 j ∈I ( i , x ( t) ) , aij = | I ( i , x ( t) ) | - 1 . 这是关于有界自信的线性模 型. 还有其他有界自信的非线性模型 , 参见文献 [65 ] ,这里不再赘述. 2 复杂网络上的观点动力学 一般地 ,在复杂网络上的各种动力学研究中 ,网 络的节点表示个体 ,节点之间的边表示个体之间的 相互作用和影响. 个体就是通过这样的相互作用并 且按照一定的演化规则来更新自身的状态、属性. 复 杂网络上的观点动力学即是在这种框架下来研究系 统观点的形成、传播和一致性等问题的. 复杂网络上 的观点动力学主要分为两方面 :一方面是研究静态 网络上的观点动力学问题;另一方面是关注网络拓 扑和观点动力学的共同演化问题. 首先讨论静态网络上基于投票者模型的一些相 关结论. 在异质网络(网络中大部分节点的邻居数目 存在差异 ,甚至成幂律分布) 上 , Sood 等人[ 60 ] 研究 第 2 期 王 龙 ,等 :复杂网络上的群体决策 ·97 ·