若=b2,则x 72-b2,代入 x|=1,得到ab必须满足 的关系式 2b2=a2+b4 现求目标函数f(an,b)=mmb在a2b2=a2+b4条件下的极小值。令 l(a, b, 1)=rab -M(ab--a'-b) 求偏导数,得到 1=xb-2a(b2-1)=0 =ma-2b(a2-2b)=0 消去λ,得到a=√2b2,再代入关于ab的约束条件a2b2=a2+b4,解得 32 √6 b 这时椭圆面积S=35x。由于3n<2互x,所以当a=32,b=6时, 椭圆x+=1包含圆(x-1)2+y2=1,且面积最小。 12.设三角形ABC的三个顶点分别在三条光滑曲线f(x,y)=0 g(x,y)=0及h(x,y)=0上。证明:若三角形ABC的面积取极大值,则各 曲线分别在三个顶点处的法线必通过三角形ABC的垂心。 证不妨固定一边BC于x轴上,A点在曲线f(x,y)=0上移动,设 y=y(x)是f(x,y)=0所确定的隐函数,则y(x)就是三角形的高,当三角 形ABC的面积取极大值时 dy(x) a=0,即曲线f(x,y)=0在A点的切线 与对边BC平行,所以在A点的法线与BC边垂直。由于这是图形的几 何性质,不依赖于坐标系,所以曲线∫(x,y)=0,g(x,y)=0与h(x,y)=0在 三个顶点处的切线分别平行于三角形的对边,从而在三个顶点处的法若λ = b2 ，则 2 2 a x a b = − 2 ，代入 2 1 min x g a λ ⎛ ⎞ = − =1 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，得到 必须满足 的关系式 a,b 2 2 2 4 a b = a + b 。 现求目标函数 f (a,b) = πab 在a 2 b2 = a 2 + b4条件下的极小值。令 l a( ,b,λ) = π ab 2 2 2 4 − − λ( ) a b a −b ， 求偏导数，得到 2 2 2 2 ( 1) 0, 2 ( 2 ) 0 a b l b a b l a b a b π λ π λ ⎧⎪ = − − = ⎨ ⎪⎩ = − − = , 消去λ ，得到 2 a = 2b ，再代入关于a,b的约束条件a 2 b2 = a 2 + b4，解得 2 3 2 a = ， 2 6 b = ， 这时椭圆面积 3 3 2 S = π 。由于 3 3 2 2 2 π < π ，所以当 2 3 2 a = ， 2 6 b = 时， 椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 包含圆(x −1) 2 + y 2 = 1，且面积最小。 12．设三角形 的三个顶点分别在三条光滑曲线 ， 及 上。证明：若三角形 的面积取极大值，则各 曲线分别在三个顶点处的法线必通过三角形 的垂心。 ABC f (x, y) = 0 g(x, y) = 0 h(x, y) = 0 ABC ABC 证 不妨固定一边 BC 于 x 轴上， A 点在曲线 f x( , y) = 0 上移动，设 是 所确定的隐函数，则 就是三角形的高，当三角 形 的面积取极大值时， y y = (x) f x( , y) = 0 y x( ) ABC ( ) 0 dy x dx = ，即曲线 f x( , y) = 0在 A点的切线 与对边BC平行，所以在 A点的法线与 边垂直。由于这是图形的几 何性质，不依赖于坐标系，所以曲线 BC f (x, y) = 0, g(x, y) = 0与 在 三个顶点处的切线分别平行于三角形的对边，从而在三个顶点处的法 h(x, y) = 0 172