11.求ab之值,使得椭圆x+2=1包含圆(x-12+y2=1,且面积最 解为了使椭圆x2y=1既包含圆(x-12+y2=1,又面积最小,可以 要求圆心(1,0)到椭圆周上的点的最短距离为1。为此先考虑目标函数 g(xy)=(x-1y2+y2在x+y=1条件下的极小值问题,并设条件极小 值为gm=1,由此导出a,b之间的关系。构造 Lagrange函数 L(x,y)=(x-1)2+y2-(x+2-1), 求偏导数,得到 L2=(x-1) (1-;)=0 11=0 并由此可得 mn=(x-1)2+y2=1|1-|=1 若y=0,则x=a。由gm=(x-12+y2=1,可得a=2。在方程组 1, 中消去y,得到(-b,)x2-2x+b2=0,容易知道当b<√时 方程除了解x=2外另有一解x∈(02),这说明椭圆b21不完全包 含圆(x-1)2+y2=1,不满足条件。所以b≥√2,这时椭圆面积S≥2√211．求a,b之值，使得椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 包含圆 ，且面积最 小。 ( 1) 1 2 2 x − + y = 解 为了使椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 既包含圆 ，又面积最小，可以 要求圆心 到椭圆周上的点的最短距离为1。为此先考虑目标函数 在 ( 1) 1 2 2 x − + y = (1,0) g x( , y) = 2 2 (x −1) + y 1 2 2 2 2 + = b y a x 条件下的极小值问题，并设条件极小 值为 gmin =1，由此导出a,b之间的关系。构造 Lagrange 函数 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ( 1) ( 1) x y L x y x y a b λ = − + − λ + − ， 求偏导数，得到 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 0, 2 1 (1 ) 0, 2 1 0, x y x L x a y L y y b b x y L a b λ λ λ λ ⎧ ⎪ = − − = ⎪ ⎪ ⎨ = − = − = ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ = −⎜ ⎟ + − = ⎩ ⎝ ⎠ 并由此可得 2 2 2 ( 1) 1 min x g x y a λ ⎛ ⎞ = − + = ⎜ − ⎟ = ⎝ ⎠ 1 1 。 若 y = 0 ，则 x = a 。由 2 2 ( 1) min g x = − + y = ，可得 a = 2 。在方程组 2 2 2 2 2 ( 1) 1 1, 4 x y x y b ⎧ −+= ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎩ , 中消去 y ，得到 2 2 2 (1 ) 2 0 4 b − x x − + b = ，容易知道当b < 2 时 方程除了解 x1 = 2外另有一解 2 x ∈(0, 2)，这说明椭圆 2 2 2 1 4 x y b + = 不完全包 含圆(x −1) 2 + y 2 = 1，不满足条件。所以b ≥ 2 ，这时椭圆面积S ≥ 2 2π 。 171