读为“n阶乘”例如：41=4-3-21=24,51=120nl随着n的增大迅速增大.例如，101=362880， 显然12.n也是一个级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的：其它的排列 都或少地破坏自然顺序 定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那末它 们就称为一个逆序一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数 例如2431中，21,43,41,31是逆序2431的逆序数就是4.而45321的逆序数是9 排列小2.n的逆序数记为U2.) 定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列 例如.2431是偶排列：45321是奇排列：12.n的逆序数是零，因之是偶排列. 应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般地也称为n级排列对这 样一般的刀级挂列同样可以定义上面这 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列这样一个变换称为一个 对换例如，经过1,2对换，排列2431就变成了1432就变成了1234，显然，如果连续施行两次相同的对换， 那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部n级排列两两配对.使每两个配成对的级排列在这个对 换下互变 于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实 定 对换改变排列的奇偶性 就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。 证明先看一个特殊的情形，即对换的两个数在排列中是相邻的情形排列 .jk. () 经过，k对换变成 . ② 这里”"表示那些不动的数显然，在排列(1)中如，k与其它的数构成逆序，则在排列(2)中仍然构成逆 序：如不构成逆序则在(2)中也不构成逆序：不同的只是，k的次序.如果原来j,k组成逆序，那么经过对 换逆序数就减少一个如果原来广，k不组成逆序，那么经过对，逆序数就增加一个不论增加1还是减少 1,排列的逆序数的奇偶性总是变了.因之，在这个特殊的情形，定理是对的 再看一般的情形设排列为 .j吨.k., (3) 经过，k对换，排列(3)变成.站.，J 不难看出，这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现从(3)出发，把k与，对换，再与引， 对换.，也就是说把k一位一位地向左移动经过3+1次相邻位置的对换，排列(3)就变成 i. (5) 读为“ n 阶乘”.例如: 4! 4 3 2 1 24,5! 120. ! =    = = n 随着 n 的增大迅速增大.例如,10!=362880. 显然 12n 也是一个 n 级排列,这个排列具有自然顺序,就是按递增的顺序排起来的;其它的排列 都或少地破坏自然顺序. 定义 2 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那末它 们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 例如 2431 中,21,43,41,31 是逆序,2431 的逆序数就是 4.而 45321 的逆序数是 9. 排列 1 2 n j j j  的逆序数记为 1 2 ( ) n  j j j  . 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列. 例如,2431 是偶排列;45321 是奇排列; 12n 的逆序数是零,因之是偶排列. 应该指出,我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排列,一般地也称为 n 级排列.对这 样一般的 n 级排列,同样可以定义上面这些概念. 把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,就得到另一个排列.这样一个变换称为一个 对换.例如,经过 1,2 对换,排列 2431 就变成了 1432 就变成了 1234,显然,如果连续施行两次相同的对换, 那么排列就还原了.由此得知,一个对换把全部 n 级排列两两配对,使每两个配成对的 n 级排列在这个对 换下互变. 关于排列的奇偶性,我们有下面的基本事实. 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说,经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列. 证明 先看一个特殊的情形,即对换的两个数在排列中是相邻的情形.排列   jk (1) 经过 j k, 对换变成   kj , (2) 这里 " "  表示那些不动的数.显然,在排列(1)中如 j k, 与其它的数构成逆序,则在排列(2)中仍然构成逆 序;如不构成逆序则在(2)中也不构成逆序;不同的只是 j k, 的次序.如果原来 j k, 组成逆序,那么经过对 换,逆序数就减少一个.如果原来 j k, 不组成逆序,那么经过对,逆序数就增加一个.不论增加 1 还是减少 1,排列的逆序数的奇偶性总是变了.因之,在这个特殊的情形,定理是对的. 再看一般的情形.设排列为 1 2 s   ji i i k ， （3） 经过 j k, 对换,排列(3)变成 1 2 s   ki i i j . 不难看出,这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现.从(3)出发,把 k 与 s i 对换,再与 s 1 i − 对换 ,也就是说,把 k 一位一位地向左移动.经过 s +1 次相邻位置的对换,排列(3)就变成 1 2 s   kji i i . (5)