证明由于 )dra< 故 e-=fee恤-ee →a-e≤e≤- 当1,2→a时，l(r)-(x2训→0.由Cauchy准则知，(a+0)存在 若(a,o(a+0)为G的内点，则由Picand存在唯一性定理， h*,子y=(x)可延拓到a-h≤x<B,与(a,)是最大存在区间矛盾！ 定理5.GeR2,c,)∈C(G)对y满足Lipschitz涤件，则01.4的解可延拓 到G的边界。 证明：做有界区域{Gn,n=1,2,…,→(o,跏)∈GCG2C…,且GnC Gn+,Gn→G 在G,内，由Picard存在唯一性定理知，解y=()可延拓到G的边界 点A1,B 在G2内，解=(x)可延拓到G2的边界点A2,B2, 易知{AnJ{B}∈G,为Gn的边界点。故4n,Bn→8G 例1.号=-cos 分析f红，)在x≠0处有连续偏导数（红，，则满足局部Lipschit条件： 工=0处无意义。则区域G为左半或右半平面，为无界开区域，y轴是其边 界。 y² du φ(x) = y0 + Z x x0 f(x, φ(x))dx, α < x < β  φ(x1) − φ(x2) = Z x1 x0 f(x, φ(x))dx − Z x2 x0 f(x, φ(x))dx, = Z x1 x2 f(x, φ(x))dx, α < x2 < x1 < β. =⇒ |φ(x1) − φ(x2)| ≤ Z x1 x2 |f(x, φ(x))|dx ≤ M|x1 − x2|. x1, x2 → αûß|φ(x1) − φ(x2)| → 0. dCauchyOKßφ(a + 0)3" e(α, φ(α + 0))èGS:ßKdPicard3çò5½nß ∃h ∗ , −−3 y = φ(x)åÚˇα − h ∗ ≤ x < βßÜ(α, β)¥Åå3´mgÒú ½n5. G ∈ R 2 , f(x, y) ∈ C(G)Èy˜vLipschitz^áßK(0.1.4))åÚˇ G>." y²¶ âk.´ç{Gn}, n = 1, 2, · · · , −−3 (x0, y0) ∈ G1 ⊂ G2 ⊂ · · · , ÖG¯ n ⊂ Gn+1, Gn → G. 3G¯ 1SßdPicard3çò5½nß)y = φ(x)åÚˇG¯ 1>. :A1, B1. 3G¯ 2Sß)y = φ(x)åÚˇG¯ 2>.:A2, B2, · · · · · · · · · ¥{An}{, Bn} ∈ G, èG¯ n>.:"An, Bn → ∂G. ~1. dy dx = − 1 x 2 cos 1 x ©¤ f(x, y)3x 6= 0?kÎY†Íf 0 y (x, y)ßK˜v¤‹Lipschitz^ᶠx = 0?Ãø¬"K´çGèÜå½må²°ßèÃ.m´çßy¶¥Ÿ>