2.收敛数列一定有界.(Roundedness) 证：设lim=a,取G=1,则3W,当n>N时，有 n->∞ |xn-a<l,从而有 xn (Xn-a)+a s xn-a+a<1+a 取 M=maxx,xl,.,xw,l+a} 则有 xn≤M(n=1,2,.) 由此证明收敛数列必有界。 说明：此性质反过来不一定成立.例如， 数 {(-1)}虽有界但不收敛. 2009年7月3日星期五 14 目录 上页 下页 返回 2009年7月3日星期五 14 目录 上页 下页 返回 2. 收敛数列一定有界. (Roundedness) 证 : 设 n ax ,limn = ∞→ 取 ε = ,1 则 当 ∃ N , > Nn 从而有 时, n x aaxn +−≤ 1+< a 取 M = { 21 " xxx N ,max 1 + a } 则有 nMx =≤ " .),2,1( n 由此证明收敛数列必有界 . aaxn )( +−= n ax <− ,1 有 说明 : 此性质反过来不一定成立 . 例如 , { } 1 )1( + − 数列 n 虽有界但不收敛