y=e2 (C cosx+C2 sinx)- 4e2“cos2x. 小结在设微分方程y”+py+qy=Pm(x)e的特解时，必须注意把 特解yn设全.如：Pn()=x2,那么Qm(m)=box2+bx+b2,而不能设0m(x)=bx2. 另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解 y。一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初 始条件的特解. 5.用微分方程解决实际问题的方法 例8已知某曲线经过点1，)，它的切线在纵轴上的截距等于切点 的横坐标，求它的方程 解设所求曲线方程为y=fx),P(x,y)为其上任一点，则过P点的 曲线的切线方程为Y-y=y'(x-x), 由假设，当x=0时y=x,从而上式成为少-y=-1.因此求曲线 dx x y=x)的问题，转化为求解微分方程的定解问题 y-y=-1,的特 y=1=1 解。 由公式y=eP地Q(x)ePd+C,得 y=e可(-ledx+C=-nx+a, 代入=1得C=1,故所求曲线方程为y=x1-nx) 例9一质量为m的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的 反作用力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律. 解设质点的运动规律为x=x0.由题意，有14 e ( cos sin ) 1 2 2 y C x C x x   x x x e cos 2 4 1 2  . 小结 在设微分方程 x m y py qy P x       ( ) e 的特解时，必须注意把 特解 p y 设全.如： 2 Pm (x)  x ，那么 1 2 2 0 Qm (x)  b x  b x  b ，而不能设 2 0 Qm (x)  b x . 另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解 p y 一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初 始条件的特解. 5.用微分方程解决实际问题的方法 例 8 已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点 的横坐标，求它的方程. 解 设所求曲线方程为 y  f (x)，P(x , y)为其上任一点，则过P 点的 曲线的切线方程为 Y  y  y(X  x)， 由假设，当 X  0 时 Y  x ，从而上式成为 1 1 d d  y   x x y .因此求曲线 y  y(x)的问题，转化为求解微分方程的定解问题            1 1 1 x 1 y y x y ，的特 解. 由公式 y Q x x C P x x P x x       e ( ( ) e d ( )d ( )d ，得 e ( ( 1)e d ) d 1 d 1 y x C x x x x        = x ln x  Cx， 代入 1 y x1 得 C  1，故所求曲线方程为 y  x(1 ln x) . 例 9 一质量为m的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的 反作用力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律. 解 设质点的运动规律为x  x(t) .由题意，有