代入原方程得2b。+2b,+4bx=4x, 比较同类项系数得。=1，b=-1,从而原方程的特解为 yp =x(x-1)e*, 故原方程的通解为y=C,e+C,e+x(x-1)e, 由初始条件x=0时，y=y=0,得 C1+C2=0, C,-C2=2 从而C,=1,C2=-1.因此满足初始条件的特解为 y=e*-e-*+x(x-1)e*. 例7求微分方程y"-4y+8y=e2sin2x的通解. 解对应的齐次微分方程的特征方程r2-4r+8=0,特征根 52=2±2i.于是所对应的齐次微分方程通解为 ye=e2*(C cos2x+C2 sin 2x). 为了求原方程y"-4y'+8y=e2sin2x的一个特解，先求 y"-4y'+8y=e2+2ir(*) 的特解.由于1=2+2i是特征方程的单根，且Pm(x)=1是零次多项式。所 以设特解为y=Are2*2x,代入原方程，化简得 (4+4i)A+8iAx-4[A+(2+2i)Ax]+8Ax=1, 比较同类项系数。得4=，4=日 所以，方程(*)的特解为 cos2x+isin2x)(icos2x-sim2x) 其虚部即为所求原方程的特解。=- -xe2x cos2x. 因此原方程通解为 613 代入原方程得 2b 2b 4b x 4x 0  1  0  ， 比较同类项系数得 1 b0  ， 1 b1   ，从而原方程的特解为 x P y  x(x 1)e ， 故原方程的通解为 y  x x C C  e  e 1 2 x  x(x 1)e ， 由初始条件 x  0时， y  y  0，得        2 , 0 , 1 2 1 2 C C C C 从而 1 C1  ， 1 C2   .因此满足初始条件的特解为 y  x x e  e x  x(x 1)e . 例 7 求微分方程 y y y x x 4 8 e sin 2 2      的通解. 解 对应的齐次微分方程的特征方程 4 8 0 2 r  r   ，特征根 2 2i r1,2   .于是所对应的齐次微分方程通解为 e ( cos 2 sin 2 ) 1 2 2 y C x C x x c   ． 为 了 求 原 方 程 y y y x x 4 8 e sin 2 2      的 一 个 特 解 , 先 求 x y y y (2 2i) 4 8 e       （） 的特解.由于  2  2i 是特征方程的单根，且Pm (x)  1是零次多项式。所 以设特解为 x y Ax (2 2i) e    ，代入原方程，化简得 (4  4i)A  8iAx  4[A  (2  2i)Ax]  8Ax  1, 比较同类项系数，得 4Ai  1， 4 i 4i 1 A    . 所以，方程（）的特解为 e (cos 2 sin 2 ) 4 i 2 y x x i x x     = e (i cos 2 sin 2 ) 4 1 2 x x x x   , 其虚部即为所求原方程的特解 y x x x P e cos 2 4 1 2   . 因此原方程通解为