洛必达法则.例如，对于x→a时的未定式”，有以下定理： 定理2（洛必达法则） 设 (1)limf(x)=limF(x)= (2)在点a的某去心邻域内，f(x)及F(x)都存在且Fx)≠0： G)-需华在（成为无穷大，事么 得得 (三)函数的单调性 定理设函数f(x)在[a,上连续，在(a,b)内可导，若f"(x)>0f"(x)<0),xe(a,b), 则fx)在[a,上单调增加（减少）. 注将这个定理中的闭区间换成其它各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立 (四)函数的极值 1.定义设函数fx)在点x,的某邻域U(化)内有定义，如果对于某去心邻域U()内 的任一x,有f)<x)(或fx)>f),那么就称)是函数f)的一个极大值（或 极小值). 2.判定条件 (1)必要条件若函数fx)在x,处可导且在x,处取极值，则f"(x)=0. 注可导函数∫x)的极值点必定是驻点.但反过来，函数的驻点却不一定是极值点， (2)第一充分条件设f(x)在x处连续，且在x,的某去心邻域U(x,)内可导. a.若x∈(-6，x时，fx)>0,而x∈(,+)时，fx)<0,则fx)在处取 得极大值： b.若xe(x。-6,x)时，fx)<0,而xe(xo,x+)时，f(x)>0,则fx)在。处取 得极小值： c.若x∈U(x,6)时，f()符号保持不变，则f)在x,处无极值 注由第一充分条件知，函数的驻点、不可导点是可能的极值点。 (3)第二充分条件设∫x)在x,处具有二阶导数且fx)=0,(x)≠0，那么 a.当∫"(x)<0时，函数x)在，处取得极大值： b.当f(x)>0时，函数fx)在x处取得极小值. 注第二充分条件只适用于∫(x)≠0且∫(x)=0的情形，当∫化)=0或者f"(x)不 存在时用第一充分条件来判定。 (五)函数的最值 1.设函数f(x)在[a,b)上连续，在(a,b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点， 洛必达法则．例如，对于 x a → 时的未定式   ，有以下定理： 定理 2（洛必达法则） 设 （1） lim ( ) lim ( ) x a x a f x F x → → = =  ； （2）在点 a 的某去心邻域内， f x ( ) 及 F x ( ) 都存在且 F x ( ) 0 ； （3） ( l ) m ) i ( x a f x → F x   存在（或为无穷大），那么 lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x  =  ． （三）函数的单调性 定理 设函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，在 ( , ) a b 内可导，若 f x f x   ( ) 0( ( ) 0)   ，x a b ( , ) ， 则 f x( ) 在 [ , ] a b 上单调增加（减少）． 注 将这个定理中的闭区间换成其它各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立． （四）函数的极值 1．定义 设函数 f x( ) 在点 0 x 的某邻域 0 U x( ) 内有定义，如果对于某去心邻域 0 0 U x( ) 内 的任一 x ，有 0 f x f x ( ) ( )  （或 0 f x f x ( ) ( )  ），那么就称 0 f x( ) 是函数 f x( ) 的一个极大值（或 极小值）． 2．判定条件 （1）必要条件 若函数 f x( ) 在 0 x 处可导且在 0 x 处取极值，则 0 f x ( ) 0 ＝ ． 注 可导函数 f x( ) 的极值点必定是驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点． （2）第一充分条件 设 f x( ) 在 0 x 处连续，且在 0 x 的某去心邻域 0 0 U x( , )  内可导． a．若 0 0 x x x  − ( , )  时， f x ( ) 0  ，而 0 0 x x x  + ( , )  时， f x ( ) 0  ，则 f x( ) 在 0 x 处取 得极大值； b．若 0 0 x x x  − ( , )  时， f x ( ) 0  ，而 0 0 x x x  + ( , )  时， f x ( ) 0  ，则 f x( ) 在 0 x 处取 得极小值； c．若 0 0 x U x  ( , )  时， f x ( ) 符号保持不变，则 f x( ) 在 0 x 处无极值． 注 由第一充分条件知，函数的驻点、不可导点是可能的极值点． （3）第二充分条件 设 f x( ) 在 0 x 处具有二阶导数且 0 f x ( ) 0 = ， 0 f x ( ) 0  ，那么 a．当 0 f x ( ) 0  时，函数 f x( ) 在 0 x 处取得极大值； b．当 0 f x ( ) 0  时，函数 f x( ) 在 0 x 处取得极小值． 注 第二充分条件只适用于 0 f x ( ) 0  且 0 f x ( ) 0 = 的情形，当 0 f x ( ) 0 = 或者 0 f x ( ) 不 存在时用第一充分条件来判定． （五）函数的最值 1．设函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，在 ( , ) a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点