推广 推 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 特殊情况 泰勒中值定理 (2)具有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒中值定理如果函数fx)在含有x的某个开 区间(a,b)内有直到n阶的导数，且f(x)在(a,b)内连续，则对任一x∈(a,b),有 e)=j+f%X-+型x-x护++x-y+d-y1. 2 称R(x)=dx-无r门为佩亚诺(Peano)型余项。 注在上述两个中值定理中取飞，=0后得到的公式称为麦克劳林公式，几个常用函数的 麦克劳林公式： e=1+x++.++o(x)(0<x<+o): cosx=1- 2+-石++少22+)<： =l++f++r+ar）elcx<: 0+r=1+m+mm-少++mm-l-m-n+Dx+o）-1<x<. 21 (二)洛必达法则 定义如果当x→a(或x→o)时，两个函数fx)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大， 事么极限四得（成一得)称为或二数未定式 定理1（洛必达法则）设 (1)limf(x)=limF(x)=0; (2)在点a的某去心邻域内，f(x)及F(x)都存在且F(x)≠0： G)四得存在（碳为无方大，影么 得得 注对于x→0时的未定式号，以及对于x→口或x→西时的未定式号，也有相应的（2）具有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒中值定理 如果函数 f x( ) 在含有 0 x 的某个开 区间 ( , ) a b 内有直到 n 阶的导数，且 ( ) ( ) n f x 在 ( , ) a b 内连续，则对任一 x a b ( , ) ，有 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! f x f x f x f x x x x x  = + − + −  ( ) 0 0 ( ) ( ) ! n n f x x x n +  + − 0 [( ) ]n + − o x x ． 称 0 ( ) [( ) ]n R x o x x n = − 为佩亚诺（Peano）型余项． 注 在上述两个中值定理中取 0 x = 0 后得到的公式称为麦克劳林公式，几个常用函数的 麦克劳林公式： 2 1 ( ) ( ) 2! ! n x n x x e x o x x n = + + + + + −   + ； 3 5 2 1 1 2 1 sin ( 1) ( ) ( ) 3! 5! (2 1)! n x x x n n x x o x x n − + − = − + − + − + −   + − ； 2 4 6 2 2 1 2 2 cos 1 ( 1) ( ) ( ) 2! 4! 6! (2 2)! n x x x x n n x o x x n − + − = − + − + + − + −   + − ； 2 3 1 ( 1) ln(1 ) ( ) ( 1 1) 2 3 n x x n n x x x o x x n + − + = − + − + + −   ； 1 2 1 ( ) ( 1 1) 1 n n x x x o x x x = + + + + + −   − ； 2 ( 1) ( 1).( 1) (1 ) 1 ( ) ( 1 1) 2! ! m n n m m m m m n x mx x x o x x n − − − + + = + + + + + −   ． （二）洛必达法则 定义 如果当 x a → （或 x → ）时，两个函数 f x( ) 与 F x( ) 都趋于零或都趋于无穷大， 那么极限 ( ) lim ( ) x a f x → F x （或 ( ) lim ( ) x f x → F x ）称为 0 0 或   型未定式． 定理 1（洛必达法则） 设 （1） lim ( ) lim ( ) 0 x a x a f x F x → → = = ； （2）在点 a 的某去心邻域内， f x ( ) 及 F x ( ) 都存在且 F x ( ) 0  ； （3） ( l ) m ) i ( x a f x → F x   存在（或为无穷大），那么 lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x  =  ． 注 对于 x → 时的未定式 0 0 ，以及对于 x a → 或 x → 时的未定式   ，也有相应的 推 广 泰勒中值定理 特 殊 情 况 罗尔定理 拉格朗日中值定理 推广 特殊情况 推广 柯西中值定理