(1)在闭区间a.b1上连续： (2)在开区间(a,b)内可导： (3)在区间端点处的函数值相等，即fa=fb) 那么在(a,b)内至少有一点5(a<5<b),使得f(⑤)=0. 2.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数fx)满足 (1)在闭区间[a,b)上连续： (2)在开区间(a,b)内可导 那么在(a,b)内至少有一点(a<5<b),使等式 f(b)-f(a)=f(5Xb-a) 成立 拉格朗日中值定理的其它形式： fb-fa=f'(a+b-a)b-a,0<0<1: f)=)+∫(5x-),专在x与x之间： fx)=f)+f'(x+x-xx-),0<0<1: fx。+)=f()+f"(E)h,5在与+h之间. 3.柯西(Cauchy)中值定理如果函数fx)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b1上连续： (2)在开区间(a,b)内可导： (3)对任一x∈(a,b),F(x)≠0， 那么在(a,b)内至少有一点5(a<5<b),使等式 成立 注1中值定理中罗尔定理可以认为是最基本的，因为其它两个中值定理均能用它导 出，而拉格朗日中值定理是最常用的： 注2罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件都是充分条件但不是必要条 件. 4.泰勒(Taylor)公式 (1)泰勒(Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有，的某个开区间(a,b)内具有直 到(n+1)阶的导数，则对任一x∈(a,b),有 国-=c+f-0+/a-+-xy+R国. 其中风国=识：-产(5是在气与之间的果个值，格风为啦格嗣日型余现 注上面四个中值定理之间的关系图 （1）在闭区间 [ , ] a b 上连续； （2）在开区间 ( , ) a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即 f a f b ( ) ( ) = ， 那么在 ( , ) a b 内至少有一点  ( ) a b    ，使得 f ( ) 0  = ． 2．拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f x( ) 满足 （1）在闭区间 [ , ] a b 上连续； （2）在开区间 ( , ) a b 内可导， 那么在 ( , ) a b 内至少有一点  ( ) a b    ，使等式 f b f a f b a ( ) ( ) ( )( ) − = −   成立． 拉格朗日中值定理的其它形式： f b f a ( ) ( ) − = f a b a b a ( ( ))( ) + − −  ， 0 1    ； 0 0 f x f x f x x ( ) ( ) ( )( ) = + −   ， 在 0 x 与 x 之间； 0 0 0 0 f x f x f x x x x x ( ) ( ) ( ( ))( ) = + + − −   ， 0 1    ； 0 0 f x h f x f h ( ) ( ) ( ) + = +   ， 在 0 x 与 0 x h + 之间． 3．柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f x( ) 及 F x( ) 满足 （1）在闭区间 [ , ] a b 上连续； （2）在开区间 ( , ) a b 内可导； （3）对任一 x a b ( , ) ， F x ( ) 0  ， 那么在 ( , ) a b 内至少有一点  ( ) a b    ，使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f F b F a F   −  = −  成立． 注 1 中值定理中罗尔定理可以认为是最基本的，因为其它两个中值定理均能用它导 出，而拉格朗日中值定理是最常用的； 注 2 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件都是充分条件但不是必要条 件． 4．泰勒（Taylor）公式 （1）泰勒（Taylor）中值定理 如果函数 f x( ) 在含有 0 x 的某个开区间 ( , ) a b 内具有直 到（ n +1 ）阶的导数，则对任一 x a b ( , ) ，有 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! f x f x f x f x x x x x  = + − + −  ( ) 0 0 ( ) ( ) ! n n f x x x n +  + − ( ) +R x n ， 其中 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n  + + = − + （  是在 0 x 与 x 之间的某个值），称 ( ) R x n 为拉格朗日型余项． 注 上面四个中值定理之间的关系图